非齐次边值条件下高维Navier-Stokes方程解的存在性

摘要

Navier-Stokes方程作为流体力学的基本方程之一，具有悠久的历史。它描述了粘性流体的运动，在流体力学的各个领域有普遍应用。平静的水流，湍急的小溪，飞机周围的气流，盘旋的飓风，以及爆破产生的冲击波等现象都可以通过Navier-Stokes方程来分析。
　　本文主要考虑带有对称结构的高维多连通区域上，满足非齐次Direchlet边值条件的Navier-Stokes方程解的存在性。Navier-Stokes方程作为七个“千禧问题”之一，受到很多关注，也得到了一些成果。对Navier-Stokes方程的研究已经从各个角度全面展开。其中，不论是对高维空间中Navier-Stokes方程的研究，还是在多连通区域上对Navier-Stokes方程的研究，都取得了很多重要的结果。一方面，数学家们一度认为，对5维稳态Navier-Stokes方程的研究，有可能为最终解决3维发展的Navier-Stokes方程带来思路。另一方面，2015年Korobkov，Pileckas和Russo证明了在一般的2维多连通区域上，满足非齐次Direchlet边值条件的Navier-Stokes方程解的存在性。他们的结果获得了极大关注，发表在Annals of Math上。因此，在高维多连通区域上，讨论解的存在性，是一个很有意思的数学问题。
　　如果边值函数在多连通区域的每一个连通分支上的流量都为零，那么该边值函数可以延拓为某函数的旋度。对于仅满足相容性条件的边值函数，上述延拓不能实现。本文将构造Virtual Drain函数，使其集中了边值函数在边界每一个连通分支上的全部流量，并且其支集可以限制在对称平面的某个小邻域内。原边值函数减去Virtual Drain函数后，便可以光滑地延拓为某函数的旋度。最后将问题转化为证明一个Leray不等式，从而可以证明方程的所有可能的解一致有界，再通过Leray-Schauder度理论，即可证明Navier-Stokes方程弱解的存在性。

目录

第1章 绪 论

1.1 课题来源及研究背景和意义

1.2 国内外研究现状及分析

第2章 预备知识

2.1 函数空间及常用不等式

2.2 紧算子及Leray-Schauder度理论

2.3 外微分形式和Hodge分解

第3章 研究目标的数学表述

3.1 容许区域和容许函数

3.2 主定理的数学表述

第4章 Virtual Drain函数的构造

4.1 定义辅助函数

4.2 定义Virtual Drain函数的支集

4.3 定义Virtual Drain函数

第5章 旋度的一般形式及延拓定理

5.1 旋度的一般形式

5.2 延拓定理及其证明

第6章 解的存在性及其证明

6.1 齐次边值问题

6.2 主要定理的证明

结论

参考文献

声明

致谢