Banach空间中与不动点性质有关的几何性质

摘要

不动点理论是泛函分析重要的组成部分。1922年，波兰数学家Banach证明了Banach压缩映像原理，因其结果的优美以及成功地解决了隐函数存在定理、微分方程初值问题解的存在性等一系列重大的应用问题，使得数学家们对不动点理论进行了深入和广泛的研究。数学、物理学和工程上的许多问题都可以转化为某类算子的不动点问题，因此不动点理论成为一个出色的解决实际问题的研究工具。Banach空间几何理论作为近代泛函分析的重要分支，广泛地应用在不动点理论等诸多领域，并一直吸引着大量的数学研究者用其作为工具来研究不动点性质。因此，对Banach空间中与不动点性质有关的几何性质的研究，不但具有重要的理论意义，更具有广泛的实际应用价值。
　　本文主要从Banach空间几何性质出发探索Banach空间中的不动点问题。
　　首先，研究了广义von Neumann-Jordan常数在Banach空间中与不动点性质、正规结构、一致正规结构的关系，以及在集值非扩张映射不动点理论中的应用。利用广义von Neumann-Jordan常数、R(a, X)系数、R(X)系数、ε0(X)系数和ρ′X(0)系数之间的关系，分别得到了Banach空间具有不动点性质和正规结构的充分条件。借助广义von Neumann-Jordan常数、弱收敛序列系数WCS(X)、R(a, X)系数与M(X)系数之间的关系，得到一个Banach空间具有正规结构的充分条件。利用超幂技巧讨论了Banach空间具有一致正规结构的充分条件。此外，研究了广义von Neumann-Jordan常数、弱正交系数ω(X)、R(a, X)与WCS(X)之间的关系，得到了Banach空间中集值非扩张映射存在不动点的充分条件。
　　其次，定义了广义Garc′?a-Falset系数和广义Dom′?nguez-Benavides系数，并研究了它们与不动点性质的关系。得到了Banach空间具有不动点性质的两个判据。研究了广义Garc′?a-Falset系数、von Neumann-Jordan常数与James常数之间的关系，得到了Banach空间具有不动点的充分条件。在赋Luxemburg范数的Orlicz序列空间lΦ中，分别计算出广义Garc′?a-Falset系数和广义Dom′?nguez-Benavides系数的表达式。在赋Luxemburg范数的Orlicz序列空间lΦ中分别得到了广义Garc′?a-Falset系数小于2和广义Dom′?nguez-Benavides系数小于1+a的充要判据。分别在序列空间l p(1< p<∞)和由Orlicz函数Φ(x)=√6 x4+x2生成的赋Luxemburg范数的Orlicz序列空间lΦ中计算了这两个系数的具体值。
　　最后，引入了接近一致光滑R和接近一致光滑R模的概念，并研究了它们的一些基本性质。得到了弱接近一致光滑R蕴含不动点性质。研究了自反Banach空间中接近一致光滑R模的等价定义。同时得到了自反Banach空间是接近一致光滑R的充分必要条件。并研究了接近一致光滑R模和参数化的James常数之间的关系。

目录

第1章 绪论

1.1 研究背景及意义

1.2 研究现状

1.3 预备知识

1.4 本文研究内容

第2章 广义von Neumman-Jordan常数

2.1 引言

2.2 广义von Neumann-Jordan常数与不动点性质

2.3 广义von Neumann-Jordan常数与正规结构

2.4 广义von Neumann-Jordan常数与一致正规结构

2.5 本章小结

第3章 广义von Neumann-Jordan常数与集值非扩张映射不动点

3.1 引言

3.2 Banach空间中的广义von Neumann-Jordan常数与(DL)条件

3.3 Banach空间中的广义von Neumann-Jordan常数与(D)性质

3.4 本章小结

第4章 广义García-Falset系数

4.1 引言

4.2 广义García-Falset系数与不动点性质

4.3 Orlicz序列空间中的广义García-Falset系数

4.4 本章小结

第5章 广义Domínguez-Benavides系数

5.1 引言

5.2 Orlicz序列空间中的广义Domínguez-Benavides系数

5.3 接近一致光滑R模

5.4 本章小结

结论

参考文献

攻读博士学位期间发表的论文及其他成果

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致谢

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