环上矩阵的等价及其分类

摘要

本文首先通过Z/pZ(p为素数)上矩阵的等价标准形给出了Z/pZ上矩阵的等价分类，并给出了每个等价类(轨道)内元素的个数，这一结果很方便的推广到有限域上。 其次通过任意合数的素数分解，得到了Z/qz(q为任意合数)上矩阵的等价标准形，并由此给出了Z/qZ(q为任意合数)上矩阵的等价类的计算公式，由于Z/qZ中含有有限个零因子，因此这一计算公式也给有限交换环上，甚至含有有限个零因子的无限交换环上矩阵等价类个数的计算提供了方法。 再次通过引进多元母函数解决了多个限制条件下整数拆分的拆分数的计算问题，这一方法是利用母函数求解递推关系的延伸和推广。同时将Z/pZ(p为素数)上矩阵的相似关系所诱导的相似类的个数的计算问题转化为两个限制条件下整数的拆分问题，并利用多元母函数使这一问题得到了圆满的解决，并将这一方法应用于Z[x]/pZ上矩阵的等价分类问题。得到了在行列式次数固定条件下z[x]/pZ上矩阵的等价类的计算公式。 最后给出了欧氏环和主理想环上矩阵的等价标准形。

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章绪论

1.1有限局部环上矩阵分类研究的意义

1.2环上矩阵分类及相关领域研究的历史与现状

1.3本文的主要工作

第2章环

2.1环的基本概念

2.2多项式环

2.3理想

2.4本章小结

第3章环上的矩阵

3.1环上矩阵的基本概念及其运算

3.2矩阵的等价不变量

3.2.1不变因子

3.2.2矩阵相似的条件

3.3本章小结

第4章群及其在集合上的作用

4.1群的基本概念

4.2群对集合的作用

4.3本章小结

第5章母函数及整数的拆分

5.1母函数及其性质

5.2整数的拆分和Ferrers图象

5.2.1整数的拆分

5.2.2 Ferrers图象

5.3本章小结

第6章环上矩阵的等价及其分类

6.1 Z/qZ上矩阵的等价及其分类

6.1.1 q为素数时情形

6.1.2 q为素数的方幂时情形

6.1.3 q为任意合数的情形

6.2 Z/pZ上矩阵的相似及其分类

6.3 Z[x]/pZ上矩阵的等价及其分类

6.4可交换环上矩阵的等价问题

6.4.1欧氏环上矩阵的等价标准形

6.4.2主理想环上矩阵的等价标准形

6.5本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果

致谢