有限体积法在结构动力及可靠性分析中的应用

摘要

为保证工程中的各类结构在使用期限内能够完成规定的功能而不发生破坏，就需要对其在各种载荷作用下的应力和变形做出正确的计算。但是由于结构和边界条件的复杂性不同，大多数问题的解是无法通过理论分析得出的。实验虽然能够得到较准确的解，但对于各种大型工程结构往往需要耗费大量的资源，有些受实验条件的限制甚至是不可能完成的，这就促使学者们越来越关注数值方法。经过多年的发展，各种商用数值模拟软件已经能够很好地解决各类动力学响应问题，但对于结构可靠性却远没有达到实用化的程度，特别是瞬态动力学结构可靠性问题，无论是在理论上还是计算方法上还都处于探索阶段，开展相关研究具有重要意义。
　　 有限体积法在流体流动和传热数值计算领域内应用很广。和其它的数值计算方法，如有限差分法、有限单元法、边界元法等相比较，有限体积法的基本思想十分简洁，方程的离散和程序的实现都比较容易。而且用其导出的离散方程，物理意义上表示的是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理。基于以上优点，本文将有限体积法进一步扩展到结构动力学和结构可靠性等固体力学问题上，并开发了一套数值仿真程序。
　　 有限体积法将连续体离散成有限个四面体，然后按一定的规则形成网格节点所代表的控制体积，网格的节点上存储有速度、加速度和位移等物理量信息；然后将动量方程直接在控制体积上进行积分。为了便于求控制方程在控制体积上的积分，假设网格内的应力为常量。对于塑性动力学问题，为了便于计算结构的塑性变形，将应力更新分解为压力更新和偏应力更新两部分，压力由状态方程进行更新，而偏应力则由材料的本构方程进行更新。具体计算时，由于采用的是增量形式的本构方程，所以会用到应力率，由于柯西应力率是受刚体转动影响的非客观量，所以文中引入了不受转动影响的焦曼应力率。在一些碰撞、冲击问题中，往往会在应力波的波阵面两侧形成强间断，这会给动力学微分方程的求解带来很大的困难，本文通过引入人工体积黏性来克服该困难。在求解方程时，采用的是显式中心差分格式，该格式是条件稳定的，所以对求解时间步进行了讨论。通过典型算例进行了数值模拟，与有限单元法和实验结果的对比表明，在求解精度上，有限体积法与有限单元法具有相当的精度，都能满足工程需要；但在计算效率上，有限体积法要高于有限单元法。
　　 基于确定性有限体积法的控制方程，推导了随机有限体积法的控制方程，给出了随机方程的求解过程。将有限体积法的控制方程对基本随机变量求偏导，求得了结构动响应对基本随机变量的偏导数；为了求解结构动响应的统计特征，将响应量在基本随机变量的均值点处进行Taylor展开，求得了随机动响应的均值和方差等统计特性。计算了随机载荷作用下板的随机动响应问题，并对结构随机动响应的变异系数做了详细讨论。基于结构动力学可靠性的首次超越准则建立了可靠性的安全余量方程，将有限体积法与求解结构可靠度问题的蒙特卡洛法、验算点法以及响应面法相结合，给出了不同方法求解结构动力可靠性问题的求解过程。最后利用前述方法求解了爆炸载荷作用下板的动力可靠度问题。通过不同方法之间的对比可知，蒙特卡洛法作为精确解的近似，拥有最高的求解精度，但其效率很低，无法应用在大型工程中。而基于随机有限体积法的验算点法与基于随机有限体积法的响应面法都能够满足工程应用的要求；但在可靠度计算精度和效率上，前者都高于后者。
　　 目前的商业软件中，对固体力学问题的求解大多采用有限单元法，而本文开发的计算程序为计算动力学和可靠性问题提供了一个全新的数值仿真平台。而且由于拥有自主知识产权和源代码，可以很方便地根据工程需要进行修改。