高精度有限体积法格式的构造方法及应用研究

摘要

微分方程的数值方法已经广泛的应用于长期的天气预报、海洋工程、地下天然气的开发、造船业等各类工程问题。现有的有限差分法、边界元法、有限体积法、无网格法等是求解微分方程数值解主要采用的方法。从最近几十年得到的数值计算研究成果上看,有限体积法是一种比较活跃的数值计算方法,在微分方程的求解中得到了广泛地应用,并且有良好地计算效果,而用有限体积法得到的离散方程保持了微分方程的积分守恒性、每项也都有明确的物理意义,并且得到的离散方程具有一定的规范性,方便于在计算机上编程实现计算。但是现有的高精度有限体积法格式很少,满足不了工程上对高精度的要求,因此,构造高精度有限体积法的离散格式是非常有必要的。
　　本文以对流扩散方程为研究对象,在利用有限体积法得到离散格式的过程中,如果采用Lagrange多项式插值方法得到的函数代替方程中的未知函数,那么再在控制体上做积分就会得到对流扩散方程的离散格式,但是在估计离散格式的空间精度时,会遇到需要估计插值多项式截断误差导数大小的问题,而截断误差导数的大小又难以估计,为了解决这个问题,给出了构造一种高精度有限体积法格式的新方法——多重积分有限体积法,本文的创新之处在于,首先在方程两边对空间变量做变限积分,然后再在控制体内做积分,这样做积分可消除方程中未知函数的导数项,而在控制体内我们又加入了一个控制变量,可以自由的控制积分区域的大小,这样得到的离散方程的方法具有一定的普遍性。其次利用Lagrange多项式插值方法得到插值函数代替方程中的未知函数,结合对时间项的处理(采用中心差分格式,这样得到的时间精度要比一般的差分格式要高,也能与空间精度相吻合)给出了全离散格式,且对离散方程进行了误差估计,最后利用Fourier分析法讨论了全离散格式的稳定性。由此方法得到,对一维对流扩散方程来说,由于作插值函数的时候只用了三个节点,故时间精度是一阶,空间精度是一阶,且全离散格式是无条件稳定的;对二维对流扩散方程来说,作插值函数的时候用了九个节点,故时间精度是二阶,空间精度是四阶,且离散格式是无条件稳定的,而给出相应的算例,进一步验证了全离散格式的稳定性及其精度符合理论推导。应该指出的是利用本文中给出的构造离散格式可以得到更高精度的离散格式。

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

第1章 绪论

1.1选题背景与研究意义

1.2数值计算方法

1.3问题的研究现况及本文各章节的安排

1.4本论文的主要创新点

第2章 基础知识

2.1 魏尔施特拉斯逼近定理

2.2插值的方法

2.3插值多项式余项

2.4插值型求导公式的定义

2.5二元多项式的拉格朗日插值方法

2.6多元多项式拉格朗日插值公式及其误差余项

2.7本章小结

第3章 对流扩散方程的简介

3.1对流扩散方程的研究对象

3.2 影响物理量变化的三个基本的过程

3.3对流扩散方程

3.4本章小结

第4章 一维对流扩散方程的高精度离散格式

4.1一维无源稳态常系数对流扩散方程的离散格式

4.2一维无源瞬态常系数对流扩散方程的离散格式

4.3本章小结

第5章 二维对流扩散方程的高精度离散格式

5.1格式的建立

5.2误差分析

5.3全离散格式的稳定性分析

5.4数值算例

5.5 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学历期间发表的论文和取得的科研成果

致谢