高精度多重有限体积法在几类工程问题中的应用研究

摘要

微分方程能够描述很多自然界中的物理现象,许多科学家都致力于寻找微分方程的解析解从而解释由微分方程所描述的自然现象,但大多数的微分方程目前仍无法求得其解析解,因此研究微分方程的数值解是必要的.其中,有限体积法是目前解决偏微分方程数值解应用中最广泛的方法之一,该方法对目标方程在控制区域内积分,能够有效地保持方程原有的物理通量守恒性,除此之外,有限体积法能够适应于结构化或非结构化网格问题,但该方法所涉及的高精度格式非常有限,因此,基于有限体积法思想构造高精度格式来解决实际工程计算问题俨然成为国内外研究的热点之一.
　　本文的研究内容如下：
　　首先,针对含源非稳态对流扩散方程,利用基于变限积分的多重有限体积法给出了新的离散格式构造方法,利用Fourier分析法给出了离散格式的稳定性分析.此外,还给出了精度估计和数值算例,并且跟传统的有限体积格式进行对比,分析了其数值结果.
　　其次,针对含耗散项的双曲扩散方程,同样利用基于变限积分的多重有限体积法思想构造了新的离散格式,给出了构造全离散格式的分析过程,以及离散格式的稳定性和精度估计,对于Dirichlet边界为零条件下,给出了该离散格式先验估计和收敛性证明.通过三个数值实验,分别对理论分析进行了验证,并对该方程以无界区域为边界的问题进行了数值观察.
　　最后,针对二维不可压缩粘性牛顿流体控制方程组,利用多重有限体积法进行数值离散,给出了其中一类非线性项的处理方法,使其满足了积分需求,为多重有限体积法处理含有非线性偏微分方程提供一种思路.

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第1章 绪论

1.1 概述

1.2 论文背景和意义

1.3 微分方程数值方法的研究现状

1.4 本文的主要工作及工作展望

第2章 一类含源非稳态对流扩散问题的数值求解

2.1 引言

2.2 格式的构造

2.3 精度估计

2.4 稳定性分析

2.5 数值算例

2.6 本章小结

第3章 一类含耗散项的双曲扩散问题的数值求解

3.1 引言

3.2 格式的构造

3.3 精度估计

3.4 稳定性分析

3.5 离散格式的先验估计

3.6 离散格式的收敛性

3.7 数值算例

3.8 本章小结

第4章 一类不可压缩粘性牛顿流体控制方程的数值研究

4.1 引言

4.2 Navier-Stokes方程预处理

4.3 格式的构造

4.4 本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果

致谢