星补与强正定张量一些问题的研究

摘要

上世纪90年代初,Peter Rowlinson和M.N. Ellingham在各自的文章中独立提出了图的星补概念.设Ii是图G的k>0重特征值,X C V(G),若|X I=k且Ii不是G- X的导出子图的特征值,则称X是M在图G中的星集,G- X是M在图G中的星补.星补理论在强正则图,最小特征值-2的图,和图特征值重数的研究中都有着重要的作用.
　　2005年,祁力群教授给出张量特征值的概念.邵嘉裕教授在2012年给出了张量乘法的定义.近两年一些关于一致超图的邻接张量和拉普拉斯张量的研究陆续出现.张量的谱理论研究尚处于起步阶段,本文给出张量强正定性的概念,并对张量的Hadamard不等式进行研究.主要结果如下：
　　(1)给出星补中的非常重要的定理-重构定理的一个新的证明；
　　(2)将图的邻接矩阵的星补理论推广到一般实对称矩阵的星补理论；
　　(3)用星补技术证明了一类特殊图的特征值重数的上界,并且刻画了达到上界时的图的结构性质；
　　(4)给出树的特征值重数上界的相关结果,改进了已有相关结论,并对达到上界时的图进行了刻画；
　　(5)给出单圈图的特征值重数上界的相关结果；
　　(6)给出一般张量的乘积概念；
　　(7)给出强正定张量的定义和Hadamard不等式的证明.

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第 1章绪论

1. 1 研究背景与应用

1. 2 研究现状

1 .3 本文的工作

第2章基础知识

2.1图谱基础知识

2.2图矩阵

2 .3 图的运算

2 .4 图的谱

2 .5 相关线性代数知识

2.6 本章小结

第3章星补理论与图的特征值

3 .1 星补理论概述

3 .2 星补与特征值重数

3 .3 本章小结

第4章强正定张量及其Hadamard不等式

4 .1 张量相关知识概述

4 .2 一般张量的乘积及性质

4 .3 强正定张量的Hadamard不等式

4 .4 小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果

致谢

附 录 A

附 录 B

附 录 C