一类具有临界指数增长的超线性N-Laplacian方程

摘要

随着人们非常深入地、细致地研究科学领域中的各式各样纷繁芜杂的现象，作为一个学科领域的热点问题之一，椭圆型方程逐渐地进入了人们的视线范围，引发了人们越来越多的新思想和新方法。自从1934年,弗里德里希斯利用泛函的方法对椭圆型方程进行研究以来,椭圆型方程的研究获得了丰硕的成果。经过几十年的发展，利用不动点理论、变分方法以及临界点理论等分析的方法对椭圆型方程进行研究已经成为一种重要的手段。
　　近年来，许多学者利用相对成熟的非线性分析手段，探讨了椭圆型方程，并取得许多较好的成果。本文将利用变分方法以及临界点理论研究如下椭圆型偏微分方程解的存在性问题：（此处公式省略）
　　其中：N≥2，λ∈R，△Nu=div｜▽u｜N-2▽u。针对位势函数V(χ)我们进行如下假设：(V1)V(χ)是有下界的；(V2)函数V(χ)-1属于1/LN-1(RN)
　　同时要求非线性项f满足：
　　(1)临界指数以及超线性增长条件；
　　(2)单调性和特征值条件；
　　(3)高阶无穷小条件。
　　基于如上假设，我们将利用山路定理证明：∨λ>0，该问题至少有一个非平凡解。
　　值得说明的是：本文所研究的问题是缺乏AR条件的，即存在一个常数μ>2使得对∨χ∈RN以及∨s>0有（此处公式省略）
　　众所周知AR条件是非常强的，不容易满足的，例如f(u)=u(1nu+1)是缺乏AR条件的，因此我们研究的问题更加具有一般性，是非常有意义的。

目录

声明

第1章 绪论

1.1偏微分方程的研究背景和意义

1.2 研究现状

1.3 主要研究内容

1.3.2 本文的结构安排

第2章 预备知识

2.1 Lebesgue积分相关的知识

2.2 Banach空间及其相关理论

2.3 Sobolev空间

2.4 变分原理与临界点理论

2.4.1 变分方法

2.4.2 临界点

2.5本章小结

第3章 临界增长条件下椭圆方程的特征值问题

3.1 主要结果的证明

3.2本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果

致谢