半空间及覆盖层中多个椭圆形及圆形缺陷对SH波的散射

摘要

随着现代社会的发展，地下结构不断增多，其抗震研究及安全性分析愈来愈为大家所关注，地下结构在地震波作用下的动力问题是相关研究中一个十分重要的方向。在对地下结构的研究中，通常简化为半空间问题，但是由于地下土的分层结构，覆盖层中各种圆形以及椭圆形缺陷在SH波作用下的散射问题也成为地震工程研究中一个重要的课题。在以往的研究中大多关注覆盖土层的存在对动应力集中的影响，而对覆盖层中孔洞以及夹杂对弹性波散射的研究、分析则相对较少。
　　针对半空间中多个椭圆孔对SH波的散射问题，本文根据镜像法，将其转化为全空间问题，并根据亥姆赫兹定理给出了波函数的一般形式解。本文并未采用传统的保角映射方法，而是通过对椭圆方程表达式的分析，得到椭圆边界处任意一点的辐角与该点垂线与坐标轴夹角二者的关系，从而避免了使用保角变换的方法，得到了原平面内的解答。并通过算例分析了不同参数对椭圆孔边动应力集中系数的影响。
　　针对地表覆盖层中多个椭圆形孔洞或者多个椭圆形夹杂在SH波作用下的动力应力集中问题，本文采用了大圆弧假定的方法，即用半径极大的圆弧来替换地表覆盖层的上下边界，将地表覆盖层上、下边界处的反射波、折射波转化为散射波，使问题得到简化。通过建立椭圆孔洞或夹杂边界处任意一点辐角与过该点的垂线与坐标轴夹角二者之间的关系，得到椭圆缺陷边界处任意点在原平面内的应力表达式。根据亥姆赫兹定理给出波函数的一般表达式，构造出以汉克尔函数表示的椭圆孔或椭圆夹杂的散射波位移场以及根据贝塞尔函数表示的椭圆夹杂内的驻波位移场，利用复变函数法和波函数展开法在满足相应的边界条件的情况下将问题转化为求解波函数中未知系数的无穷线性代数方程组，截断有限项从而得到系数。通过数值算例分析了不同参数对动应力集中系数的影响。研究中通过对介质参数的选取来确定介质之间的“软硬”关系，假定密度大的介质“硬”，密度小的介质“软”。算例表明，无论是椭圆孔还是椭圆杂，其周边的最大动应力集中系数都是随着入射波数的增大而不断震荡下降。对于椭圆孔问题而言，地表覆盖层比半空间“硬”时其最大动应力集中系数要大于覆盖层比半空间“软”时的情况。对于椭圆夹杂而言，无论地表覆盖层、半空间、半空间夹杂三者的“软硬”关系如何，都是夹杂越“软”则最大动应力集中系数就越大，夹杂越“硬”则最大动应力集中系数就越小。
　　目前针对地表覆盖层的问题大多采用大圆弧假定的方法，但该方法只是一种近似的方法并且在使用时有不少局限性。针对覆盖层中多个圆形孔洞对SH波的散射问题，本文采用整体保角映射的方法，即将覆盖层的上、下边界，以及覆盖层中的圆形孔洞通过一个变换方程整体映射为一组不同圆形、不同半径的圆，通过保角映射改变了问题模型的形状，使问题得到极大的简化。在构造波场时，入射波波场在原平面构造并通过保角映射变换为新的入射波波场，散射波波场全部在新平面内构造。根据连接条件建立方程组，同样利用复变函数法和波函数展开法方程转化为求解波函数中未知系数的无穷线性代数方程组，通过截断有限项得到系数。算例表明，当覆盖层比半空间“硬”时，圆孔边的动应力集中系数要大于覆盖层比半空间“软”时的情况。

目录

声明

摘要

第1章绪论

1．1本课题的研究背景

1．2弹性波散射和动应力集中

1．3弹性波散射问题研究现状

1．4弹性波散射问题的主要研究方法

1．5本文的研究内容和方法

第2章基本理论

2．1坐标系

2．1．1实平面坐标系

2．1．2复平面坐标系

2．2．1几何方程

2．2．2物理方程

2．2．3应力-位移关系

2．2．4运动微分方程

2．2．5均匀各向同性介质中的位移方程(空间直角坐标系)

2．3．1位移位表示的波动方程

2．3．2纵波与横波

2．3．3波动方程的一般形式

2．4．1初值条件

2．4．2边值条件

2．4．3分界面连续性条件

2．4．4Sommerfeld辐射条件

2．5 SH波的应力—位移关系

2．5．1直角坐标系下SH波应力—位移关系

2．5．3复平面内SH波应力—位移关系

2．6亥姆赫兹方程

2．7保角变换

2．8本章小结

第3章半空间内多个椭圆形孔洞对SH波的散射

3．1引言

3．2问题描述及坐标系建立

3．3入射波及散射波波场

3．3．1入射波波场

3．3．2散射波波场

3．4椭圆孔的方程

3．5入射波和散射波的径向应力和切向应力

3．5．1入射波的径向应力和切向应力

3．5．2散射波的径向应力和切向应力

3．6连接条件

3．7动应力集中系数

3．8算例1半空间中单个椭圆孔对SH波的散射

3．9算例2半空间中两个椭圆孔对SH波的散射

3．10本章小结

第4章地表覆盖层中多个椭圆形孔洞对SH波的散射

4．1引言

4．2问题描述及坐标系建立

4．3入射波及散射波波场

4．3．1入射波波场

4．3．2散射波波场

4．4射波及散射波的径向应力和切向应力

4．4．1射波的径向应力和切向应力

4．4．2散射波的径向应力和切向应力

4．5连接条件

4．6椭圆孔边动应力集中系数

4．7算例1覆盖层中单个椭圆孔对SH波的散射

4．8算例2覆盖层中两个椭圆孔对SH波的散射

4．9本章小结

第5章地表覆盖层中多个椭圆形夹杂对SH波的散射

5．1引言

5．2问题描述及坐标系建立

5．3．1入射波波场

5．3．2散射波波场

5．3．3驻波波场

5．4．1入射波的径向应力和切向应力

5．4．2散射波的径向应力和切向应力

5．4．3驻波的径向应力和切向应力

5．5连接条件

5．6椭圆夹杂边动应力集中系数

5．7算例1覆盖层中单个椭圆夹杂对SH波的散射

5．8算例2覆盖层中两个椭圆夹杂对SH波的散射

5．9本章小结

第6章地表覆盖层中多个圆形孔洞对SH波的散射

6．1引言

6．2问题描述及坐标系建立

6．3保角变换

6．3．1覆盖层上边界验证

6．3．2覆盖层下边界验证

6．3．3覆盖层中圆孔验证

6．3．4保角映射后的坐标系关系

6．4入射波及散射波波场

6．4．1入射波波场

6．4．2散射波波场

6．5入射波及散射波应力

6．5．1入射波应力

6．5．2散射波应力

6．6连接条件

6．7动应力集中系数

6．8算例1覆盖层中单个圆孔对SH波的散射

6．9算例2覆盖层中两个圆孔对SH波的散射

6．10本章小结

结论

参考文献

攻读博士学位期间发表的论文和取得的科研成果

致谢