具奇异项的反应扩散方程（组）的适定性研究

摘要

本文研究了一类具有奇异项和强阻尼项的反应扩散方程以及一类具有奇异项和耦合源项的反应扩散系统的初边值问题.在这之前，研究者们对具有奇异项或强阻尼项的热方程有着广泛研究，并且他们只在某部分能量级下研究解的某一性质.本文我们全面系统地研究具有奇异项的反应扩散方程（组）的解的适定性.在位势井理论框架下，本文利用凹函数方法和相关的泛函分析理论，分别在次临界、临界和超临界三种不同初始能级条件下研究了解的适定性，并分析了解对初值的依赖性. 第二章考虑的是在一定初边值条件下一类具有奇异项和强阻尼项的反应扩散方程的解的适定性.首先，通过Galerkin方法和压缩映射原理本章得到了解的局部唯一存在性定理.进而，在局部解存在的基础上，本章研究了在J(u0)＜d的条件下解的整体存在性和渐近行为，另外得到解是在有限时间内爆破的并对爆破时间上界给出估计;当J(u0)=d时本章证得解的整体存在、渐近行为以及有限时间爆破.最后，通过构建新的能量泛函并结合Hardy不等式，在J(u0)＞d的能级状态下本章得到了解在有限时间爆破. 进一步在具有奇异项的单个反应扩散方程的基础上，第三章研究了一类具有奇异项和耦合源项的反应扩散系统的初边值问题.首先，由于耦合源项的对称性本章给出势能泛函、Nehari流、位势井深以及一些基本引理.然后，根据引理证明了解的不变集合，并在次临界初始能级J(u0，v0)＜d和临界初始能级J(u0，v0)=d情况下得到了解的整体存在性、渐近行为以及有限时间爆破.最后，通过比较原理，在超临界初始能级条件J(u0，v0)＞d下还得到了解的整体存在和有限时间爆破.

目录

声明

摘要

第1章绪论

1．1研究对象

1．2研究背景

1．2．1反应扩散方程的研究背景

1．2．2奇异项的研究背景

1．3研究目的与方法

1．4本文内容安排

第2章具奇异项的反应扩散方程的解的适定性

2．1预备知识及引理

2．2局部解

2．3次临界能级(J(u0＜d)

2．3．1基本引理和位势井族

2．3．2解的整体存在性

2．3．3解的渐近行为

2．3．4解的有限时间爆破

2．3．5解的爆破时间上界

2．4临界能级(J(u0)=d)

2．4．1解的整体存在性

2．4．2解的渐近行为

2．4．3解的有限时间爆破

2．5超临界能级(J(u0)＞d)下解的有限时间爆破

2．6本章小结

第3章具奇异项的反应扩散方程组的解的适定性

3．1预备知识及引理

3．2次临界能级(J(u0，v0)＜d)

3．2．1解的整体存在性

3．2．2解的渐近行为

3．2．3解的有限时l司爆破

3．3 临界能级(J(u0，v0)=d)

3．3．1解的整体存在性

3．3．2解的渐近行为

3．3．3解的有限时间爆破

3．4超临界能级(J(u0，v0)＞d)下解的整体存在与有限时间爆破

3．5本章小结

结论

参考文献

攻读硕士学位期间发表的论文和取得的科研成果

致谢