具有黏性阻尼的拟线性波动方程的初边值问题

摘要

本文研究如下的初边值问题：utt-σ(ux)x-uxxt+δ|ut+p-1ut=μ|u|q-1u，x∈Ω，t＞0，(1)u(0,t)=0，u(1，t)=0，t≥0，(2)u(x，0)=ψ(x)，ut(x，0)=ψ(x)，x∈-Ω，(3)其中，δ＞0，μ＞0，p≥1，q＞1为常数，σ(s)为给定的非线性函数，ψ(x)和ψ(x)为给定的初值函数，Ω=(0，1)，下标x和t分别表示对x和t求偏导数.方程(1)是一类非线性波动方程，它描述由变率类型材料构成的黏弹性固体的运动.它也可以作为场方程来描述弹塑性杆的纵向运动的Voigt模型.本文分四章：第一章为引言；第二章研究一类具有黏性阻尼的拟线性波动方程的初边值问题的局部广义解和局部古典解的存在性和唯一性；第三章建立一个新的常微分不等式；第四章利用第三章建立的常微分不等式研究问题(1)-(3)解的爆破，并给出了一个例子.主要结果如下：定理1假定(1)σ∈Cm(R)，|σ(s)|≤K|s|v，|σ′(s)|≤K|s|v-1等，其中v≥2；(2)ψ∈Hm(Ω)，ψ∈Hm-1(Ω).若4≤m≤min{p+1，q+1}(如果m是奇数，m≤min{p+2，q+2})，特别地，当p=1时，4≤m≤q+1(如果m是奇数，m≤q+2)，则初边值问题(1)-(3)存在局部广义解u(x，t)，它满足等式∫t10∫Ω{utt-σ(ux)x-uxxt+δ|ut|p-1ut-μ|u|q-1u}h(x，t)dxdt=0，(A)h∈L2(Qt1)，(4)而且初边值条件在古典意义下成立，其中Qt1=Ω×(0，t1)，解有连续导数uxs(x，t)(0≤s≤m-2)，uxst(x，t)(0≤s≤m-4)和广义导数uxs(x，t)(0≤s≤m)，uxst(x，t)(0≤s≤m-1)和uxstt(x，t)(0≤s≤m-3).若5≤m≤min{p+2，q+2}，则问题(1)-(3)的广义解是唯一的.若6≤m≤min{p+1，q+1}，则问题(1)-(3)有唯一的局部古典解u(x，t)，而且解有连续导数uxs(x，t)(0≤s≤m-2)，uxst(x，t)(0≤s≤m-4)，uxstt(0≤s≤m-6)和广义导数uxs(x，t)(0≤s≤m)，uxst(x，t)(0≤s≤m-1)，uxstt(x，t)(0≤s≤m-3)，uxst3(x，t)(0≤s≤m-5).定理2设一正的可导函数M(t)满足不等式M(t)+M(t)≥Ct1-r/2(M(t))r+3/4，t≥t1＞0，(5)和M(t)≥-Ft2+M(0)t+M(0)，t≥t1＞0，(6)其中M(0)，M(0)，r＞1，C＞0均为常数，且F≤-[2/C(1-e-r-1/4)]4/r-1＜0，则存在常数～T，使得当t→～T-时，M(t)→∞.定理3假定如下条件成立：(1)p=1，q＞1；(2)σ(s)∈C1(R)，sσ(s)≤K∫s0σ(y)dy，∫s0σ(y)dy≤-α|s|γ+1，其中K＞2，α＞0和γ＞1均为常数；(3)ψ∈H10(Ω)∩Lq+1(Ω)，ψ∈H10(Ω)及E(0)+q-1/2(q+1)[μ(q-1)/2]-2/q-1(δ2/2)q+1/q-1≤-[2/A3(1-e-r-1/4)]4/r-1,其中E(0)=‖ψ‖2-2μ/q+1‖ψ‖q+1q+1+2∫Ω∫0ψx(x)σ(s)dsdx，A3=√A2={(K-2)α23-γ/γ+3}1/2.则问题(1)-(3)的广义解u(x，t)或古典解u(x，t)在有限时刻～T爆破，即当t→～T-时，‖u(·，t)‖2+∫t0∫Ω|ux(x，τ)|2dxdτ+∫t0∫τ0∫Ω|ux(x，s)|2dxdsdτ→∞.(1)1≤p＜2，q＞p/2-p；(2)σ(s)∈C1(R)，sσ(s)≤K∫s0σ(y)dy，∫s0σ(y)dy≤-α|s|γ+1，其中K＞2，α＞0和γ＞1均为常数；(3)ψ∈H10(Ω)∩Lq+1(Ω)，ψ∈H10(Ω)及E(0)+1/25(a/ζ)d≤-[2/A3(1-e)-γ-/4]4/γ-1，其中E(0)=‖ψ‖2-2q+1‖ψ‖q+1q+1+2∫Ω∫ψx(x)0σ(s)dsdx，d=(2-p)(q+1)/(a-p)q-p,a=2-p/2(δ2pp/4p-1)1/2-p,ζ=[μ(q-1)(2-p)/2]2/(2-p)(q+1)，A3=√A2={(K-2)α23-γ/γ+3}1/2.则问题(1)-(3)的广义解u(x，t)或古典解u(x，t)在有限时刻～T爆破，即当t→～T-时，‖u(·，t)‖2+∫t0∫Ω|ux(x，τ)|2dxdτ+∫t0∫τ0∫Ω|ux(x，s)|2dxdsdτ→∞.

目录

文摘

英文文摘

郑重声明

第一章引言

第二章问题(1.1)-(1.3)局部解的存在性和惟一性

第三章一个常微分不等式

第四章问题(1.1)-(1.3)解的爆破

参考文献

致谢