非协调有限元方法新模式及超收敛研究

摘要

本文针对两类四阶变分不等式、非线性反应扩散型四阶奇异摄动方程、二阶椭圆方程、非线性sine-Gordon方程以及Stokes方程，从非协调Galerkin-有限元方法、协调和非协调混合元方法、修正加罚和各向异性有限元方法等不同角度出发深入系统的研究了其新模式的构造、理论分析（诸如收敛性、超逼近和整体超收敛现象）以及数值试验.
　　首先，我们讨论了双边位移障碍下固支板问题的双参数非协调元方法.双边位移障碍下固支板问题对应于一类四阶变分不等式，H4正则性的缺失是导致有限元方法收敛性分析和误差估计的主要困难.作为尝试，我们首次提出了使用既能保证收敛性又计算简便的双参数非协调元来求解该问题.以一个总体自由度与Zienkiewicz元相同且对任意剖分均收敛的九参数双参数非协调元(Veubeke-Zienkiewicz)为例，通过引入连续和离散障碍问题之间起桥梁和纽带作用的辅助障碍问题，并巧妙地构造出从非协调元到一个相应熟知的协调元空间的扩展算子，得到了能量模意义下最优误差估计，并最终建立了双边位移障碍下固支板问题的双参数非协调元的一般格式.
　　其次，针对曲率障碍下一个四阶变分不等式研究了其各向异性非协调元逼近.由于曲率障碍下四阶变分不等式求解区域是与曲率有关的凸集，并不是所有的有限元逼近都能保证解的收敛性.寻找既满足各向异性特征又能保证收敛性的非协调元是问题的难点所在.幸运的是，我们通过仔细分析发现矩形Morley元插值函数的二次部分具有各向异性特征且满足一个重要的平均值性质.从而结合函数分裂方法，首次在各向异性网格上得到了最优阶误差估计.
　　再次，研究了extendedFisher-Kolmogorov方程（简称EFK方程）的非协调元方法.EFK方程是一个非线性时间依赖反应扩散型四阶奇异摄动方程.现有的文献只局限对正则网格上的C1-协调元分析.然而由于C1-协调元构造复杂且自由度较大，正则性条件严重制约了对解的边界层或内层效应的处理.我们首次考虑将非协调元用于求解EFK方程并尝试将收敛结果推广到各向异性网格.其主要思路是:第一步，构造李雅普诺夫(Lyapunov)函数并借助Sobolev嵌入定理，通过引入新的技巧证明了半离散和欧拉全离散格式解的存在唯一性并对非线性项进行了误差估计.第二步，直接利用插值算子、积分恒等式、导数转移技巧和Gronwall不等式得到了半离散和欧拉全离散格式在能量模意义下关于摄动参数的一致收敛性结果.通过进一步分析，我们最终建立了C0非协调板元对EFK方程的一致收敛定理.特别地，对于双参数C0非协调元逼近给出了具体误差估计.同时，我们还进行了数值实验，数值结果与理论分析是完全吻合的.
　　最后，我们探讨了四类偏微分方程新混合元模式的超收敛分析.
　　(Ⅰ)对于二阶椭圆问题，利用带约束的非协调旋转Q1元和分片常数元构造了一个新的矩形网格上自由度最少的混合元格式.利用积分恒等式技巧、弱BB条件和插值后处理算子，得到了其超逼近性质和超收敛结果.数值实验的结果进一步说明了该格式的有效性.
　　(Ⅱ)研究了非线性sine-Gordon方程的任意四边形非协调元（修正的类Wilson元）离散格式，利用相容误差比插值误差高两阶的特殊性质，并借助于Riesz投影和广义矩形网格下插值函数协调部分的高精度分析，采取与以往文献不同的新技巧，得到了任意四边形网格下Crank-Nicolson全离散两层混合元格式的最优阶误差估计，以及广义矩形网格下的超逼近性质和矩形网格下的超收敛结果.数值实验验证了理论分析的正确性.
　　(Ⅲ)对于EFK方程，分别利用插值算子和Riesz投影算子两种不同的方法，借助于积分恒等式技巧和插值后处理算子给出了在两种不同边界条件下双线性混合元半离散和欧拉全离散格式的超收敛分析.在此基础上，我们建立了对这两种边界条件均适用的各向异性线性元（双线性元）超收敛分析的新模式，该模式利用单元的各向异性特征和积分恒等式结果，先给出Riesz投影的各向异性误差估计（这一结果是前所未有的，因为到目前为止，只有关于插值算子的各向异性特征的判别条件，而没有关于如何判别Riesz投影算子的各向异性特征的报道），再根据插值与Riesz投影之间的估计得到超逼近性质，最后由插值后处理算子导出半离散和欧拉全离散格式在各向异性网格下单独利用插值或者Riesz投影所无法得到的超收敛结果.数值实验的结果与理论分析相一致.
　　(Ⅳ)对于Stokes方程，我们提出将修正加罚有限元方法和L2投影方法相结合的思想，首次对由Crouzeix-Raviart型非协调线性三角形元和分片常数构成的修正加罚混合元格式得到了速度和压力的超收敛结果.该方法选取较大的罚参数就能得到较高的收敛阶，能有效地避免因使用小参数而导致的算法不稳定问题，这是传统的加罚有限元方法所无法比拟的，数值实验证明了理论分析的正确性.

目录

声明

摘要

第一章 前言

§1．1 研究背景和国内外研究现状

§1．2 论文主要研究内容和安排

第二章 预备知识

§2．1 Sobolev空间的一些概念、定理和常用不等式

§2．2 有限元方法基本理论

§2．3 非协调元和双参数法

§2．4 各向异性基本理论

§2．5 混合有限元方法及理论

第三章 两类四阶变分不等式的非协调元方法

§3．1 双边位移障碍下固支板问题的双参数元方法

§3．1．1 一个9-参双参数元

§3．1．2 收敛性分析

§3．1．3 双参数非协调元逼近的一般格式

§3．2 曲率障碍下一个四阶变分不等式的各向异性非协调元分析

§3．2．1 单元构造

§3．2．2 误差估计

第四章 EFK方程的非协调有限元分析

§4．1 非协调元半离散格式收敛性分析

§4．2 欧拉全离散格式和误差估计

§4．3 C0非协调板元对EFK方程的一致收敛定理

§4．4 双参数C0非协调板元逼近的误差估计

§4．5 数值实验

第五章 混合元方法超收敛分析

§5．1 椭圆问题一个新的非协调混合元格式超收敛分析

§5．1．1 新非协调混合元格式的超收敛分析

§5．1．2 数值实验

§5．2 非线性sine-Gordon方程四边形非协调元分析

§5．2．1 Crank-Nicolson全离散格式最优误差估计

§5．2．2 超逼近和超收敛结果

§5．2．3 数值实验

§5．3 EFK方程各向异性混合元方法超收敛分析

§5．3．1 混合元半离散格式

§5．3．2 欧拉全离散混合元格式和误差估计

§5．3．3 超收敛结果

§5．3．4 另一种边界条件下的EFK方程混合元方法的超收敛分析

§5．3．5 EFK方程各向异性线性元(双线性元)超收敛分析的新模式

§5．3．6 数值实验

§5．4 Stokes方程非协调元加罚格式的超收敛分析

§5．4．1 修正加罚格式和一些预备知识

§5．4．2 用L2投影方法进行超收敛分析

§5．4．3 数值实验

第六章 总结与展望

参考文献

个人简历、在学期间发表与完成的学术论文及研究成果

致谢