各向异性局部重构型后验误差估计及自适应计算

摘要

本文主要针对带间断系数的扩散问题和奇异摄动反应-扩散问题，在各向异性网格条件下推导健壮的局部重构型后验误差估计，进而实现各向异性自适应计算。针对带间断系数的扩散问题，推导了适用于各向异性网格的局部重构型后验误差估计。基于平衡通量的局部守恒假设，一个抽象的误差上界首先被建立。剩下的任务就是构造满足假设的平衡通量。这里，我们给出了平衡通量的两种构造方式：直接法和混合有限元法。其中直接法是最容易想到的，对网格各向异性的影响不需要特别的处理，而混合有限元法需要将网格的各向异性尺寸引入到平衡通量的构造中。这类后验估计关于扩散系数是健壮的，且可应用于有限体积法，有限差分法和有限元法。我们分别在能量范数和对偶范数意义下表明了所构造的误差估计子是可靠的、有效的。事实上，这些估计在各向同性网格条件下与Vohralík(J Sci Comput46:397–438,2011)得到的各向同性后验估计等价，因此从某种意义上来说，我们推广了Vohral′k的结果。
　　本文针对奇异摄动反应-扩散问题的有限体积法，推导了适用于各向异性网格的局部重构型后验误差估计。类似地，基于平衡通量的局部守恒假设，我们首先在能量范数意义下建立了一个抽象的误差上界。这个平衡通量的构造采用直接法。我们在能量范数意义下表明了所构造的误差估计子是可靠的、有效的且关于反应系数是健壮的。事实上，这些估计在各向同性网格条件下与Cheddadi等人(ESAIM-Math Model Numer Anal43:867–888,2009)得到的各向同性后验估计等价，因此从某种意义上来说，我们推广了Cheddadi等人的结果。基于所得的各向异性后验误差估计，我们推导出相应的各向异性误差指示子，从而用于引导网格的各向异性自适应加密。事实上，原始形式的各向异性后验估计并不能直接用于引导网格的各向异性自适应加密，因为它不能表示出误差在各个方向的贡献，且对齐测度中含有未知的真解。为了得到各向异性误差指示子，我们改写了对齐测度的格式，并通过后处理的方式得到它的一个逼近。最后，我们给出了一个各向异性网格自适应加密算法，能够利用所得到的各向异性误差指示子生成一个合适的度量场，从而生成一个新的各向异性网格。

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第一章 绪论

S1.1 概述

S1.2 后验误差估计

S1.3 各向异性网格自适应

S1.4 本文的主要工作

第二章 预备知识

S2.1 一些基本的记号

S2.2 各向异性网格

S2.3 基本的工具

第三章 带间断系数的扩散问题

S3.1 问题描述

S3.2 一些数值方法及相互间的关系

S3.3 各向异性插值误差估计

S3.4 局部重构型后验估计

S3.5 后验估计的有效性和健壮性

S3.6 局部重构型后验估计的应用

S3.7 数值实验

第四章 奇异摄动反应-扩散问题

S4.1 问题描述

S4.2 各向异性插值误差估计

S4.3 局部重构型后验估计

S4.4 后验估计的有效性和健壮性

S4.5 数值实验

第五章 各向异性自适应计算

S5.1 各向异性误差指示子

S5.2 各向异性自适应算法

S5.3 数值实验

参考文献

个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果

致谢