神经网络算法求解绝对值方程的解及其稀疏解

摘要

我们已经知道利用神经网络方法解决问题的优点：(i)基于神经网络的微分方程的解决方法是可微的，可以用在任何后续的计算，另一方面大多数其他技术只是提供一个离散的解决方案；(ii)基于神经网络的方法来解决微分方程提供了一个解决方案并有很好的泛化性能；(iii)神经网络的计算复杂度不会因为采样点的数量增加而迅速增加；（iv)神经网络方法可以实现并行体系结构.鉴于神经网络这么多优点，所以本文主要采用神经网络算法求解绝对值方程Ax-|x|= b的解及其稀疏解，其中A表示矩阵，b表示相应的向量.
　　对于神经网络算法求解绝对值方程的解来说，由于绝对值方程是一个不可微的问题，在将绝对值方程转化为一个无约束最优化问题之后，给我们的求解造成了一定的困难.所以，我们通过两种光滑函数：一个是凝聚函数，另外一个是φμ(x)=√￣μ2+x2绝对值方程转化为一个光滑的无约束最优化问题.然后建立起求解这个问题的梯度神经网络算法并证明了绝对值方程的解就是我们建立起来的神经网络模型的平衡点，且神经网络在平衡点处是Lyapunov稳定和渐近稳定的.数值实验证明了梯度神经网络算法求解绝对值方程的有效性.最后，我们还对两种不同光滑函数下，绝对值方程解的误差、求解的时间进行了比较，对现实的应用有一定的参考价值.
　　对于神经网络算法求解绝对值方程稀疏解来说，前人的工作表明，求解绝对方程的最小l1范数方法是有效的算法.本文主要通过绝对值方程与互补问题的等价关系将绝对值方程转化为这样一个方程：此处公式省略其中[?]+表示投影算子.然后，将求解绝对方程稀疏解的问题转化为l1正则化投影最小化模型，接着利用投影神经网络算法求解这个模型，就得到了该问题的近似稀疏解.最后做出数值实验，根据结果可知，投影神经网络算法是有效的并且解的精度令人满意.

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