带有奇异非线性项的椭圆问题的Morse指数与分歧

摘要

在这篇论文中,我们考虑下面的边值问题(△u=λ|x|αf(u),在Ω内(0＜u＜1,在Ω内(Tλ)(u=1,在(a)Ω上.其中,λ＞0,α≥0,Ω是RN(N≥2)中包含原点的有界光滑区域,f(0)=∞,s→0+lim spf(s)=1.问题(Tλ)出现在薄膜与静电微型电子机械系统(MEMS)的研究中.本文的目的就是对一般情况下问题(Tλ)的研究给出相当统一的方法,这可以揭示出文献[11]与[8]结果的内在联系.
　　 在关于非线性项f(u)的两类不同假设下,我们利用Morse指数来研究问题(Tλ)正解的结构.本文的主要思想方法是对正则解与奇异解的Morse指数做一些重要估计.我们首先建立有下界的有限Morse指数正解的不存在性.然后我们证明,对任意α≥0,存在一个关于α递减的临界指标pc(α)＞0,使得当p＞pc(α)或p＞pc(0)(依赖于区域Ω的形状),问题(Tλ)的正解分支具有无穷多个分歧点.此外,我们还研究了相关问题在单位球B上的径向对称解分支,并且发现当p＞pc(α)时,解分支具有无穷多个转向点;当0＜p≤pc(α)时,在径向对称解分支中任何解(正则解或奇异解)的Morse指数都是有限的.这表明对于0＜p≤pc(α)与p＞pc(α),问题(Tλ)的径向对称解分支的结构发生了变化.

目录

文摘

英文文摘

第一章 引言

§1.1 背景及研究近况

§1.2 主要结果

第二章 无穷Morse指数解

第三章 正解的分歧与结构

§3.1 非线性项f满足(F1)与(F2)时,问题(Tλ)正解的结构

§3.2 非线性项f满足(G1)与(G2)时,问题(Tλ)正解的结构

参考文献

致谢

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