黎曼流形上Gradient Ricci Almost Soliton的分类及相关问题

摘要

这篇论文主要研究了三类问题: gradient generalized quasi-Einstein流形的分类;static space的分类; porous medium方程的梯度估计和Liouville定理。
　　在第一章，研究了gradient generalized m-quasi-Einstein流形.也就是说，存在两个光滑函数f，λ使得Rij+fij-1/mfifj=λgij，其中m是常数。在紧致的gradient generalized m-quasi-Einstein流形上，我们首先得到了一些刚性结果。在Bach张量平坦的假设下，对于特殊的gradient generalized m-quasi-Einstein流形，我们得到了一些分类结果。特别的，维数是3时，我们得到了一些比较强的结果。
　　在第二章，黎曼流形(Mn，g)上，存在光滑函数f满足方程fij=f Rij+λgij，其中Rij是Ricci曲率，λ是光滑函数.并且建立一个关系式fCijk=-1/n-1Dijk+Wijkfl。利用这个式子，在Bach张量平坦的假设下，我们得到了一些分类结果，这推广了[57]中的结果。特别的，对n=3时，如果Bach张量的散度是零，我们得到（Mn，g）是共形平坦的。
　　在第三章，主要考虑Ricci曲率有下界的情况下，(Mn，g)上的porous medium方程ut=△（up），1＜p＜1+1/√n-1的正解的局部梯度估计。并且，我们也得到了Liouville型定理。特别的，我们得到的结果推广了[66]中的一些结果。

目录

封面　

摘要

第一章 Gradient generalized quausi-Einstein流形的分类

§1．1 引言

§1．1．1 背景简介

§1．1．2 主要定理

§1．2 预备知识

§1．2．1 一些定义和记号

§1．2．2 活动标架上的一些基本公式

§1．3 Gradient generalized quasi-Einstein流形的分类

§1．3．1 一些刚性结果

§1．3．2 具有Bach平坦的特殊gradient generalized quasi-Einstein流形

§1．3．3 3维的gradient gemralized quasi-Einstein流形

§1．4 Gradient Ricci almost soliton的分类

第二章 Static空间的分类及其相关问题

§2．1 引言

§2．2 预备知识

§2．3 主要结论及证明

第三章 Porous medium方程的Hamilton梯度估计和Liouville定理

§3．1 引言

§3．2 主要定理

§3．3 定理的证明

参考文献

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