非线性优化问题的对偶方法研究

摘要

对偶方法可以将一个约束优化问题转化为另一个约束优化问题，并且得到两个优化问题的最优解之间的某种关系，从而有助于揭示原问题最优解的存在性、解的结构等理论性质。同时，根据对偶理论还可以建立相应的对偶类算法，进而用于更好的求解原规划问题。
　　本研究分为五个部分：第一章为引言部分，着重介绍了局部和全局最优化问题的有关知识，对偶理论的发展现状等。第二章讨论了Lagrange对偶理论，并给出了弱对偶定理和强对偶定理的证明；然后，我们基于一个修正的F-B型NCP函数，研究了带等式和不等式约束的最优化问题的Lagrange对偶理论，并给出了相应的对偶定理和对偶算法。第三章介绍了Canonical对偶理论和方法原理的基本内容，探索了它在带线性约束的二次规划中的应用，改进了这个应用中参数的选择方法。在第四章我们用锥松弛的方法解决了一类带线性和二次约束的二次规划问题，然后研究了这个问题在 M-F约束条件下的 KKT系统、Lagrange乘子和线性锥松弛问题，以及上述三者之间的关系，得出了全局最优性条件，比半正定条件更普遍。最后，第五章为本文的主要结论以及展望。

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第1章 引言

1.1 非线性优化问题概述

1.2 相关基础知识

1.3 对偶理论研究概述

1.4 本文研究的主要内容

第2章 Lagrange对偶和基于一类NCP函数的对偶

2.1 极大极小问题与鞍点

2.2 Lagrange函数与Lagrange对偶

2.3 非线性互补问题

2.4 基于一类NCP函数的Lagrange对偶问题

第3章 Canonical对偶理论研究

3.1 Canonical对偶理论基础

3.2 带线性约束的二次规划问题

第4章 应用锥松弛方法解决一类二次规划问题

4.1 问题介绍

4.2 Lagrange函数和KKT系统

4.3 锥松弛

4.4 KKT系统与锥规划

第5章 结论

5.1 本文的主要研究内容及结论

5.2 展望

参考文献

致谢

攻读学位期间的研究成果