非线性Fokker-Planck方程的广义Hermite谱方法

摘要

在统计力学中, Fokker-Planck 方程是描述粒子的布朗运动, 在阻力或随机力的影响下, 粒子概率密度函数随速度及时间和空间位置演化的一类无界区域上偏微分方程. 但是由于目前对这个方程的非线性特征认识有限使得人们很难找到其精确解,因此设计高效的数值算法来求解非线性Fokker-Planck方程是十分必要的. 已有的文献中, 利用组合 Laguerre 函数结合区域分解谱方法求其数值解,会造成许多理论分析和数值计算上的麻烦,比如数值解在相邻子区域公共边界的匹配问题等. 所以, 本文考虑利用权函数χ(υ)≡1 的 Hermite 函数作为基函数的逼近方法求其数值解.主要优点是算法格式有长时间的稳定性,还有就是误差分析更简单. 本文研究全直线上简化的和非线性的Fokker-Planck方程的谱和拟谱方法. 首先, 在第二章中介绍广义 Hermite 函数的定义及性质和一些正交逼近、插值理论的基本结果及有关时间方向上的差分逼近结果. 这些结果是本文建立全直线上Fokker-Planck方程全离散谱和拟谱方法的数学基础. 在第三章中, 以带伸缩因子的广义 Hermite 函数为基函数展开全直线上简化的Fokker-Planck方程的数值解,逼近其精确解. 给出算法格式和收敛性分析,数值结果表明所提算法格式的有效性和高精度. 在第四章中, 对于全直线上非线性 Fokker-Planck 方程提出了全离散广义Hermite 谱和拟谱方法. 在时间方向上取步长为τ的 Crank-Nicolson 离散格式得到了全离散的谱和拟谱格式,分析了所提算法格式的收敛性和稳定性,数值试验验证了理论分析的正确性,并且显示了所提方法的有效性. 第五章是对本文简要概括,并提出有待进一步研究的问题.

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非线性 Fokker-Planck 方程的广义 Hermite 谱方法

摘 要

Abstract

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第 1 章 绪论

1.1 课题来源

1.2 课题研究的背景及意义

1.3 国内外研究的现状

1.4 课题研究的主要内容及结果

1.5 本文的结构

第 2 章 预备知识

2.1 Hermite 正交逼近

2.2 Hermite 插值逼近

2.3 时间方向的差分逼近

第 3 章 简化 Fokker-Planck 方程的谱方法

3.1 简化 Fokker-Planck 方程的广义 Hermite 谱方法

第 4 章 非线性 Fokker-Planck 方程的谱和拟谱方法

4.1 非线性 Fokker-Planck 方程的全离散谱方法

第 5 章 总结与展望

5.1 全文工作总结

5.2 未来工作展望

参考文献

致谢

攻读学位期间的研究成果