非交换微分学及其应用

摘要

对称和对偶在理论物理及数学物理中起着重要作用。量子群是经典李群、李代数的基本对称概念的推广。基于Alain Connes [1]对非交换几何的一般思想，Manin[2]，Wess和Zumino[3]等将量子群看成量子超面上的线性变换，并具体提出在非交换空间上的微分形式，外微分等，由此逐步建立起非交换微分几何框架，并从不同观点提出各种q规范理论。 本论文致力于构造半离散的同伦算子，并由此证明半离散微分复形的正合性，利用半离散的微分学，我们得到了一个半离散的可积方程。 在第一章中，简介一下正合复形、非交换微分几何的历史和在物理中的应用。在第二章中，简介了微分几何学的一些基本概念，给出了具体的欧氏空间上微分形式、外微分运算及其复形的正合性(即Poincare引理的连续情形)。在第三章中，给出了类似的离散空间上微分形式、外微分运算及其复形的正合性(即Poineare引理的离散情形)。结合前两部分，在第四章中，给出半离散空间上微分形式、外微分运算及其复形的正合性(即Poincare引理的半离散情形)。最后，在第五章中，给出非交换微分学的一个应用，得到了可积的Toda-Lattice方程。

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第一章绪论

§1.1引言

§1.2结构安排

第二章连续微分学

§2.1微分几何基本概念

§2.2欧氏空间上微分形式和外微分运算

§2.3连续复形及其正合性

第三章离散微分学

§3.1格点空间和平移映射

§3.2格点上微分形式和外微分运算

§3.3离散复形及其正合性

第四章半离散微分学

§4.1半离散空间

§4.2半离散空间上微分形式和外微分运算

§4.3半离散复形及其正合性

第五章非交换微分学在半离散空间上应用

§5.1 Hodge星算子

§5.2周期的户田晶格(Toda-Lattice)方程

§5.3在半离散空间上的应用

参考文献

致谢