加权Bergman空间上的Berezin变换和径向算子

摘要

算子的Berezin变换与算子的紧性有密切关系,人们通过研究算子在不同空间上的Berezin变换来寻找算子为紧算子的充要条件.通过Berezin变换,将算子理论的知识转化为函数性质的描述。1998年,Axler S和Zheng D C证明了Toeplitz算子有限积的有限和,其Berezin变换在边界上为零,蕴含该算子是紧算子.2002年,Zorboska对一类算子在一定条件下,研究了其Berezin变换在D的边界上为零蕴含算子为紧算子.而本文则是在加权Bergman空间A2a(D)上研究算子的Berezin变换及径向算子的紧性.在一定条件下,我们证明了对于一类径向算子,其Berezin变换在D的边界上为零,蕴含算子为紧算子.并给出了Tz的本质换位的一些性质.
　　第一章在加权Bergman空间A2a(D)上讨论了算子的Berezin变换.通过两个例子说明了在D的边界上,虽然算子的Berezin变换为零,而算子不是紧算子.
　　第二章讨论了在加权Bergman空间A2a(D)上的径向算子,并介绍了算子的Berezin变换的径向化及径向算子的Berezin变换.
　　第三章对于加权Bergman空间A2a(D)上的径向算子,找到了A的Berezin变换在D的边界上趋于零,使得算子A是紧算子的一个充要条件.
　　第四章在加权Bergman空问A2a(D)上讨论了Tz的本质换位的一些性质.
　　本文的主要结果为
　　定理3.2.1设A为加权Bergman空间A2a(D)上的径向有界算子,并且具有对角形式{an},使得n(an-an-1)有界,当|z|→1-时,～A(z)→0,则A是紧算子.
　　定理3.3.2令f是D上有界径向函数,则下面三条等价:
　　(I) Tf:A2a(D)→(D)是紧算子;
　　(ii)当|z|→1-时,～f(z)→0;
　　(iii)当x→1-时,1/(1-x)1+a∫1xf(┬t)(1-t)adt→0.