二阶带p-laplacian常微分方程边值问题正解的研究

摘要

微分方程有着深刻而生动的应用背景,它的产生源于生产实践与科学技术的发展,到现在它已经逐渐成为现代科学技术中分析问题和解决问题的一个强而有力工具。它主要应用在在经济金融保险领域、生物种群的数量结构规律分析、疾病和病虫害的控制与防治、遗传规律的研究等领域,微分方程的提出对解决这些问题起着非常重要的作用。微分方程为研究诸如上述现实问题的解决提供了一个非常合适的数学模型,由于他的重要作用所以微分方程成为一个极为活跃的研究方向。
　　 微分方程边值问题解的定性研究是十分重要的,只有弄清楚了解的存在性和解的个数等问题之后才可能求方程的数值解并将之运用于实践,从而实现对实际问题的监控、预测等。因此,运用近几十年以来非线性泛函分析中发展起来的多种先进的分析工具来研究边值问题解的存在性,尤其是正解的存在性,引起了国内外许多数学工作者的关注。
　　 本文作者在阅读了大量文献的基础上,用不动点定理研究带有P拉普拉斯算子非线性微分方程及方程组边值问题正解的存在性。本文共研究了以下三个问题:
　　 首先,我们讨论了一类带尸拉普拉斯算子含一阶导数项边值问题拟对称解的存在性,将微分方程转化为积分方程,在适当的锥上运用Avery-Peterson不动点定理给出积分算子不动点存在的充分条件,即解的存在性的充分条件；
　　 其次,考虑了一类含有拉普拉斯算子二阶导数及一阶导数项的非线性边值问题,利用变量替换将方程转化成一般的带尸拉普拉斯算子的二阶导数的边值问题；而且此类边值问题中非线性项f是含有小于零的部分的,给我们解决问题带来了大量困难,我们通过适当的处理将小于零部分转化成非负的,然后再应用不动点指数定理得到一定条件下三个正解存在的充分条件；
　　 再次我们研究了一类带P拉普拉斯算子含有一阶导数项的非线性微分方程组正解的存在性,利用Avery-Peterson不动点定理研究二维的Banach空间上正解存在的充分条件,得到一些新的结论。
　　 最后我们研究了一类二阶带有一阶导数的m点边值问题正解的存在性,在一些特定的条件下用新的不动点定理得出至少一个正解存在的充分条件。