一类纯正变换半群的研究

摘要

设X2n=｛1，2，…，2n｝为有限链，T2n是X2n上的全变换半群.记DM（2n，n）=DO（2n，n）∪DR（2n，n），其中DO（2n，n）=｛α∈T2n:（（A）x，y∈X2n）|xα-n|≤|yα-n|(=)|x-n|≤|y-n|｝，DR（2n，n）=｛α∈T2n:（（A）x，y∈X2n）|xα-n|≥|yα-n|(=)|x-n|≤|y-n|｝.令ODM（2n，n）=｛α∈DM（2n，n）:（（A）i∈｛1，2，…，n-1｝）（n-i）α≤（n+i）α｝，显然，ODM（2n，n）是T2n的子半群.本文主要讨论了半群ODM（2n，n）的若干性质，具体内容如下: 第二章研究了半群ODM（2n，n）的正则性和格林关系，得到如下结果: 定理2.1.2半群ODM（2n，n）是T2n的一个正则子半群. 定理2.1.4设n≥3，则半群ODM（2n，n）是一个纯正变换半群. 定理2.2.4设α，β∈ODM（2n，n），则 （1）（α，β）∈L当且仅当Im（α）=Im（β）. （2）（α，β）∈R当且仅当ker（α）=ker（β）. 定理2.2.7设α，β∈ODM（2n，n），则（α，β）∈D当且仅当|Im（α）|=|Im（β）|且下列之一成立. （1）Im（α）=Im（β）； （2）ker（α）=ker（β）； （3）当Im（α）≠Im（β），ker（α）≠ker（β）时，ker（α）与ker（β）互补. 第三章研究了半群ODM（2n，n）的秩和幂等元秩，得到如下结果: 定理3.1.9设n≥3，则rank（ODM（2n，n））=［n/2］×2+1. 定理3.2.6设n≥3，则rank（E（ODM（2n，n）））=2n-1. 第四章研究了半群ODM（2n，n）的极大子半群，得出如下结果: 定理4.5设n≥3且n为奇数，则ODM（2n，n）的极大子半群有且只有如下三类: （1）Mη=ODM（2n，n）\｛η｝； （2）Mi-=ODM（2n，n）\｛α（Ai，i），α（An-i，n-i）｝； （3）Mi+=ODM（2n，n）\｛α（Ai，2n-i），α（An-i，n+i）｝. 定理4.6设n≥3且n为偶数，则ODM（2n，n）的极大子半群有且只有如下六类: （1）Mη=ODM（2n，n）\｛η｝； （2）Mi-=ODM（2n，n）\｛α（Ai，i），α（An-i，n-i）｝； （3）Mi+=ODM（2n，n）\｛α（Ai，2n-i），α（An-i，n+i）｝； （4）Mn/2-=ODM（2n，n）＼｛α（A n/2，n/2），e（A n/2，n/2）｝； （5）Mn/2+=ODM（2n，n）＼｛α（A n/2，3n/2），e（A n/2，3n/2）｝； （6）Mn/2=ODM（2n，n）＼｛α（A n/2，n/2），α（A n/2，3n/2）｝. 设X2n=｛1，2，…，2n｝为有限链，T2n是X2n上的全变换半群.记DM（2n，n）=DO（2n，n）∪DR（2n，n），其中DO（2n，n）=｛α∈T2n:（?x，y∈X2n）|xα-n|≤|yα-n|(=)|x-n|≤|y-n|｝，DR（2n，n）=｛α∈T2n:（?x，y∈X2n）|xα-n|≥|yα-n|(=)|x-n|≤|y-n|｝.令ODM（2n，n）=｛α∈DM（2n，n）:（?i∈｛1，2，…，n-1｝）（n-i）α≤（n+i）α｝，显然，ODM（2n，n）是T2n的子半群.本文主要讨论了半群ODM（2n，n）的若干性质，具体内容如下: 第二章研究了半群ODM（2n，n）的正则性和格林关系，得到如下结果: 定理2.1.2半群ODM（2n，n）是T2n的一个正则子半群. 定理2.1.4设n≥3，则半群ODM（2n，n）是一个纯正变换半群. 定理2.2.4设α，β∈ODM（2n，n），则 （1）（α，β）∈L当且仅当Im（α）=Im（β）. （2）（α，β）∈R当且仅当ker（α）=ker（β）. 定理2.2.7设α，β∈ODM（2n，n），则（α，β）∈D当且仅当|Im（α）|=|Im（β）|且下列之一成立. （1）Im（α）=Im（β）； （2）ker（α）=ker（β）； （3）当Im（α）≠Im（β），ker（α）≠ker（β）时，ker（α）与ker（β）互补. 第三章研究了半群ODM（2n，n）的秩和幂等元秩，得到如下结果: 定理3.1.9设n≥3，则rank（ODM（2n，n））=［n/2］×2+1. 定理3.2.6设n≥3，则rank（E（ODM（2n，n）））=2n-1. 第四章研究了半群ODM（2n，n）的极大子半群，得出如下结果: 定理4.5设n≥3且n为奇数，则ODM（2n，n）的极大子半群有且只有如下三类: （1）Mη=ODM（2n，n）\｛η｝； （2）Mi-=ODM（2n，n）\｛α（Ai，i），α（An-i，n-i）｝； （3）Mi+=ODM（2n，n）\｛α（Ai，2n-i），α（An-i，n+i）｝. 定理4.6设n≥3且n为偶数，则ODM（2n，n）的极大子半群有且只有如下六类: （1）Mη=ODM（2n，n）\｛η｝； （2）Mi-=ODM（2n，n）\｛α（Ai，i），α（An-i，n-i）｝； （3）Mi+=ODM（2n，n）\｛α（Ai，2n-i），α（An-i，n+i）｝； （4）Mn/2-=ODM（2n，n）＼｛α（A n/2，n/2），e（A n/2，n/2）｝； （5）Mn/2+=ODM（2n，n）＼｛α（A n/2，3n/2），e（A n/2，3n/2）｝； （6）Mn/2=ODM（2n，n）＼｛α（A n/2，n/2），α（A n/2，3n/2）｝. （3）Mi+=ODM（2n，n）\｛α（Ai，2n-i），α（An-i，n+i）｝； （4）Mn/2-=ODM（2n，n）＼｛α（A n/2，n/2），e（A n/2，n/2）｝； （5）Mn/2+=ODM（2n，n）＼｛α（A n/2，3n/2），e（A n/2，3n/2）｝； （6）Mn/2=ODM（2n，n）＼｛α（A n/2，n/2），α（A n/2，3n/2）｝.

目录

第 一 章 引言及准备知识

1.2 预备知识

第 二 章 半群ODM（2n，n）的正则性和格林关系

2.2 半群ODM（2n，n）的格林关系

第 三 章 半群ODM（2n，n）和半群E（ODM（2n，n）)的秩

3.1 半群ODM（2n，n）的秩

3.2 半群E（ODM（2n，n））的秩

第 四 章 半群ODM（2n，n）的极大子半群

第 五 章 后继工作

参考文献

攻读硕士学位期间发表及待发表的学术论文

致谢

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