广义估计方程的强相合性及其在纵向数据中的应用

摘要

本文主要研究了广义估计方程(Generalized estimating equations，GEE)根的渐近存在性、强相合性等大样本性质。广义估计方程是研究纵向数据的一种重要方法，自Liang和Zeger(1986)引入GEE以来，其大样本性质不断地得到了丰富与完善。Liang和Zeger首先运用极大拟似然估计(Quasi maximum likelihood)的方法简要地证明了GEE在一般的条件下存在弱相合的解，此解即使在工作相关(working correlation)矩阵假定不正确的情况下依然具有相合性、渐近正态性等性质，只需要正确假定均值方差结构与联系函数(link function)就行了；Liang和Zeger还给出了GEE的Guass- Newton迭代算法并指出在一般的条件下估计量也拥有渐近正态性，这就为GEE的实际应用提供了理论保障；Xie和Yang(2003)进一步完善GEE了渐近理论。他们在Fahrmeir和Kaufmann(1994)已有的GLM成果的基础上，给出了在集族数目n趋于无穷，集族内重复观测次数最大值m有界（或m以有限的速率随着n趋于无穷）情形下，GEE存在弱相合解的充分条件，并且通过验证 Lindeberg condition及Cramer-Wold theorem证明了此弱相合解的渐近正态性；而另一种情形：集族数目n为一有限数，集族内重复观测次数最大值m趋于无穷目前研究得还比较少。
　　 本文首先简要介绍已有文献中关于GEE的渐近理论。接下来，本文对GEE模型进行了推广，考虑样本集族数目n有限且大于一，集族内重复观测次数最大值m趋于无穷的情形下，GEE根的渐近存在性、强相合性等大样本性质并进行数值模拟验证之。显然这些理论的完善将使GEE模型应用更为广泛，从而使本文的研究具有理论与实际应用的价值。
　　 本论文主要由4章组成：
　　 在第一章中，我们先简要介绍文章研究的背景与目的，概述广义估计方程及前人完成的结果，然后在此基础上综述本文的主要工作。
　　 在第二章中，我们证明了在样本集族数目n有限且大于1，集族内重复观测次数最大值m趋于无穷的情形下，广义估计方程根的渐近存在性及其强相合性。主要是应用了”mixing conditions”方法，对样本混合矩加以限制；在对信息矩阵的约束方面，我们也并不需要完全知道样本的真实协方差结构。
　　 第三章，数值模拟。首先概述GEE算法，然后对上一章的结果进行数值模拟，即在集族数目n有限且大于1，集族内重复观测次数最大值m趋于无穷的情形下，验证广义估计方程根的渐近存在性、强相合性。
　　 第四章我们将广义估计方程应用到生物医学上的纵向数据的研究的中。我们将研究某药物饮品对人记忆的影响。研究纵向数据的目的是将响应变量的期望描述成解释变量的一个函数。由于响应变量的重复观测值显然是相关的，因此广义估计方程是比较适用的一种手段。