改进的共轭梯度法与梯度投影法的收敛性研究

摘要

作为运筹学的主要构成部分之一，最优化理论与方法在社会生活实践中有着广泛的应用.本文在已有共轭梯度算法的基础之上，提出了一些新构造的共轭梯度方法，并与梯度投影算法进行结合，用于线性约束优化问题的求解.全文主要有以下三个部分组成.
　　第一部分，首先介绍了共轭梯度法产生的背景、研究现状，并列举了几种常见共轭梯度法的性质和特点等预备知识.然后简单回顾了约束优化问题的梯度投影算法.
　　第二部分，针对无约束优化问题，首先，对共轭梯度法中的迭代参数进行修正，得到了两类新的共轭梯度算法，并利用 DY方法具有好的内在性质的特点，分别在Wolfe线搜索和新型线搜索下证明了新算法的下降性和全局收敛性.其次，给出了一类含有参数的共轭梯度算法，该算法在给定的条件下的每一步都能产生一个下降方向，并在强Wolfe线搜索下具有全局收敛性.
　　第三部分，先将第二部分中构造的第二类算法与Rosen梯度投影算法有效结合，并将其推广到等式约束优化问题当中，得到了求解等式约束优化问题的一类混合算法，该算法能有效的提高Rosen梯度投影算法的收敛速度，并在Wolfe线搜索下具有全局收敛性.接着，本文利用GLP梯度投影的思想，构造了一种共轭梯度投影算法，用于求解约束优化问题，并得到其收敛性结果.

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1 绪论

1.1共轭梯度法的发展过程

1.2约束优化的梯度投影法

1.3本文的研究内容及主要创新点

2 几类改进的共轭梯度法

2.1几何规划中一类修正的共轭梯度法

2.1.1引言

2.1.2修正公式及算法描述

2.1.3.全局收敛性

2.2 改进的共轭梯度方法在两种线搜索步长规则下的收敛性

2.2.1 修正公式及其算法

2.2.2 改进的βk在Wolfe步长规则下的下降性和收敛性

2.2.3 改进的βk在新型线搜索步长规则下的下降性和收敛性

2.3含参数共轭梯度算法的全局收敛性

2.3.1 新的公式与算法

2.3.2充分下降性

2.3.3 全局收敛性

2.3.4 数值试验

3 求解约束优化问题的共轭梯度投影算法

3.1等式约束优化问题的一类共轭梯度投影算法

3.1.1 算法与假设

3.1.2 算法的性质

3.1.3 算法的收敛性

3.2 Wolfe步长规则下约束优化问题的共轭梯度投影算法

3.2.1引言

3.2.2 定义与引理

3.2.3 共轭梯度投影算法

3.2.4 收敛性

4 结论和展望

4.1 结论

4.2 展望

参考文献

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