几类小度数Cayley图的正规性

摘要

在群与图的研究中， Cayley图一直扮演着一个重要角色.给定一个有限群G，一个基本的问题是确定G上所有Cayley图何时是正规的（何时是非正规的）.在一些研究中，我们经常需要确定Cayley图的全自同构群.在决定Cayley图的全自同构群时，Cayley图的正规性起了一个很重要的作用.正规Cayley图具有最小可能的图自同构群，即Aut(Γ)=R(G)Aut(G，S)，因此，对于正规Cayley图Cay(G，S)，我们就可以用群G和子集S来刻画复杂的图自同构群.此外，Cayley有向图的正规性对于弧传递图和半弧传递图的研究也是非常重要的.但是在大多数情况下，判断Cayley图的正规性是十分困难的.本文工作主要围绕Cayley图的正规性展开.
　　 首先，本文研究了2p2q2阶二面体群连通3度Cayley图的正规性，其中p＞q均为奇素数.作为应用，还证明了这类图的全自同构群是可解群.
　　 其次，本文研究了10p阶群G上连通2度有向Cayley图的正规性，并证明了这类图是正规的，除非下列情形之一发生:
　　 (1) G=Z10p=,S≌{a,a5p+1};
　　 (2)G=Z5p×Z2=×，S≌{a，au};
　　 (3)G=,S≌{ca, cba-1}.
　　 然后，本文研究了2p2阶Cayley图.设G是2p2(p为素数)阶非交换群，S是G的不含单位元的四元生成子集，当Γ=Cay(G，S)是非弧传递且A1为2-群时，则
　　 (1)当p≠5时，Γ是正规的，特别地，Aut(Γ)是可解群;
　　 (2)当p=5时，Aut(Γ)存在正规子群N≌Zp，Γ是ΓN的正规覆盖，其中ΓN≌K5.5-5K1.
　　 最后，本文研究了20p阶二面体群上连通3度Cayley图的正规性.

目录

声明

摘要

第1章 绪论

1．1 基本的概念与结论

1．2 研究背景

1．3 主要工作

第2章 理论基础

2．1 引言

2．2 引理

2．3 本章小结

第3章 2p2q2阶二面体群3度Cayley图的正规性

3．1 引言

3．2 主要结论

3．3 本章小结

第4章 三类10p阶2度Cayley有向图的正规性

4．1 引言

4．2 主要结论

4．3 本章小结

第5章 2p2阶非交换群4度Cayley图的正规性

5．1 引言

5．2 主要结论

5．3 本章小结

第6章 20p阶二面体群3度Cayley图的正规性

6．1 引言

6．2 主要结论

6．3 本章小结

结论与展望

参考文献

致谢

攻读学位期间发表论文情况