不可压缩粘弹流Oldroyd-B模型的研究

摘要

本文先研究经典不可压缩粘弹流Oldroyd-B模型的局部适定性 ?tu-μΔu+u·▽u+▽p=▽·(FFT),?tF+u·▽F=▽uF，（0.0.1） 其中T=T(x,t)表示速度场,p=p(t,x)表示压力,μ表示流体的粘性系数，F =F(t,x)是形变张量. 在第三章中，我们运用 Friedrich 方法得到经典不可压粘弹流 Oldroyd-B模型(0.0.1)在Hs空间中,局部强解的存在唯一性,这里s>n/2 . 当n=2，3时,我们改进了林芳华,柳春和张平在H2 空间得到的局部解的存在性. 对于更一般的模型，即如果(0.0.1)包含阻尼项 ?tu-μΔu+u·▽u+▽p=▽·(FFT),?tF+vF+u·▽F=▽uF，divu=0,(0.0.2) 这里常数v>0. 类似于不可压缩粘弹流Oldroyd-B模型(0.0.1),带有阻尼项的不可压缩粘弹性流 Oldroyd-B 模型 (0.0.2)是局部适定的. 进一步，本文研究其小初值整体解的适定性以及解的时间衰减估计. 在第四章,我们首先研究方程(0.0.2)小初值的整体适定性. 在Hm(m≥3)空间中,我们先证明先验估计,然后综合先验估计,利用归纳法将局部解进行延拓得到小初值整体解.得到小初值整体解之后,我们进一步对解的衰减性质进行研究.我们将u和F的方程进行耦合，对耦合后的方程组进行衰减估计. 利用傅立叶频域分解法，我们将频域分为球内和球外两个子集. 利用傅立叶变换和积分算子推得方程解本身的L2范数衰减估计: ”u(t)”L22+”F(t)”L22 ≤C(t+1)?3/2 . 类似地，对高阶导数，运用傅立叶频域分解法再次将频域空间进行分割，再利用归纳法得到j阶导数的衰减估计: ”▽ju（t）”L22+”F(t)”L22≤C(t+1)?3/2-j. 最后在第五章,我们对如下六参数不可压缩粘弹流Oldroyd-B模型进行研究 ?tu+(u·▽)u+▽p=μΔu+kdiv(T),?tT+(u·▽)T+βT-Q(▽u,T)=v△T+αDu,▽·u=0，u|t=0=u0(x),T=T0(x),(0.03) 其中流体的应力张量T=T(x,t)是一个3×3阶矩阵,参数β≥0是弛豫时间的倒数,μ>0表示流体的粘性系,v>0表示应力张量的扩散系数，k>0和α>0由流体的动力粘度、滞后时间和 β 决定. Du是▽u的对称部分，即 Du=1/2(▽u+▽uT).Q(▽u,T)具有双线性形式,这里Q(▽u,T)=?T-T?+b(DuT+TDu),其中?是▽u的反对称部分,参数b∈[?1，1]. 我们证明了光滑解的延拓准则:若u满足∫0T”▽u(t)”qLpdt<∞,其中3/2T.