非定常自然对流问题投影方法研究

摘要

非线性偏微分方程是描述自然现象和运动规律的重要数学模型. 由于人们对非线性现象本质的认识有限,所以数值模拟成为一种十分重要的研究手段,但直接数值模拟非线性偏微分方程存在一个很大的困难,即庞大的计算规模、长时间积分和有限计算资源之间的矛盾,因此构造和研究具有长时间稳定性和高效、低耗的算法就显得尤为重要. 数值模拟流体方程经常遇到的困难是流体问题变量相互耦合,使得离散问题的线性方程组求解规模很大,因此直接求解该线性方程组导致计算时间长和计算存储量大.投影算法是求解复杂多变量粘性流体问题的有效数值格式,利用投影方法,解耦变量间的耦合性，将所考察的非线性问题分解为若干个（一般为两个或三个）线性子问题，从而降低求解规模,达到减小计算量和节省计算时间的目的. 因此,在本文中,我们着重构造求解非定常自然对流问题的几种投影方法,具体安排如下: 第三章考虑了非定常自然对流问题的一阶投影方法. 首先通过抛物方程求解温度θn+1;其次将非线性问题的压力和速度解耦,分别在相应的子问题中求解中间速度uen+1、速度 un+1和压力 pn+1 . 最后，为达到更好的收敛阶，我们提出了修正的一阶投影方法.该算法的优点在于通过压力校正,利用相邻迭代压力项的差pn+1?pn提高速度、温度以及压力等的收敛阶. 数值算例验证所构造算法的有效性和高效性. 第四章探究了基于压力校正的二阶投影方法. 二阶投影方法由第三章修正的一阶投影方法优化而来，其证明方法结合了Taylor展开技术、数学归纳法、Stokes投影等技术. 除了延续上述涉及到的投影方法优点外，二阶投影方法还避免了使用速度投影项,从而在原来的基础上减少了存储空间以及计算时间. 第五章分析了求解非定常自然对流问题的粘性分裂方法. 该方法将数值求解非定常自然对流问题难点（非线性项、不可压缩性和变量耦合性）分离，得到一系列线性子问题，从而达到简化计算，提高计算效率的目的. 数值算例验证了粘性分裂方法求解非定常自然对流问题有效性.

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1 绪论

1.1 论文研究背景

1.2 论文研究现状

1.3 本文结构安排

2 预备知识

2.1 函数空间

2.1.1 Lp 空间

2.1.2 Sobolev 空间

2.2 基本不等式和引理

2.2.1 Young 不等式

2.2.3 Minkowski 不等式

2.2.4 Gronwall 引理

2.3 非定常自然对流问题的基本结论和正则性假设

2.3.1 非定常自然对流问题的基本结论

2.3.2 非定常自然对流问题的正则性假设

3 非定常自然对流问题一阶投影迭代方法

3.1 一阶投影迭代方法

3.2 稳定性分析

3.3 收敛性分析

3.3.1 误差方程

3.3.2 误差分析

3.3.3 改进的误差估计

3.4 修正投影迭代方法及误差分析

3.4.1 修正投影迭代方法

3.4.2 误差分析

3.5 数值试验

3.5.1 解析解: 收敛阶的验证

3.5.2 热驱动方腔问题

4 非定常自然对流问题二阶投影迭代方法

4.1 二阶投影迭代方法

4.2 稳定性分析

4.3 收敛性分析

4.3.1 误差方程

4.3.2 误差分析

5 非定常自然对流问题粘性分裂投影迭代方法

5.1 粘性分裂投影迭代方法

5.2 稳定性分析

5.3 收敛性分析

5.3.1 误差方程

5.3.2 误差分析

5.4 数值试验

5.4.1 解析解: 收敛阶的验证

5.4.2 方腔底部加热模型

6 总结与展望

参考文献

作者简历

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