一种球体反散射问题的唯一性研究

摘要

经典的反散射问题包括障碍物和介质反散射问题，即利用测量到的散射场或远场信息，重构障碍物或介质散射体。声波反散射问题在数学物理问题研究中占据着重要的地位，是医学成像、声纳技术等许多应用问题的理论基础，因此其唯一性证明和数值求解一直是许多学者努力的方向。其中，唯一性证明往往是一种反散射问题能否求解的理论保证。 本文着重考虑了一种球体反散射问题的唯一性，即利用单一远场模数据，能否唯一确定具有Neumann边界条件的球体散射体（简称为声硬球体）。目前对反散射问题的许多研究成果都是利用远场重构散射体，而对于利用远场模重构散射体这类反散射问题的研究，特别是唯一性研究则较少。本文创新性地证明了，当已知声硬球体位置的情况下，仅利用平面入射波下的单一远场模数据，就能唯一确定声硬球体的半径，从而重构出球体。另外，文中还从数值上验证了这一理论结果。 除此以外，由于本文的证明是基于球体散射问题的级数解，因此还对各类球体散射问题的级数解进行了详细地阐述和推导。另外本文也进行了利用积分方程方法和PML方法数值求解球体散射问题的相关理论推导和数值实验，一方面将其和级数解进行比较以确保级数解的正确性，另一方面提供更全面的关于球体散射问题的结论以供感兴趣的学者参考。

目录

声明

第一章绪论

1.1研究背景

1.2研究现状

1.3研究内容和论文结构

第二章 球体散射问题的级数解

2.1 Helmholtz方程的解与Hankel函数

2.1.1R2中的解与Hankel函数

2.1.2R3中的解与Hankel函数

2.2球体障碍物散射问题的级数解

2.2.1二维球体

2.2.2三维情形

2.3球体介质散射问题的级数解

2.3.1二维圆盘

2.3.2三维球体

第三章 球体散射问题的数值解

3.1对障碍物球体的积分方程方法

3.1.1声软球体

3.1.2声硬球体

3.1.3电阻抗球体

3.2对介质球体的PML方法

3.3数值实验

第四章一种球体反散射问题的唯一性证明

4.1 Bessel函数和Neumann函数

4.2唯一性定理

4.3数值实验

总结与展望

参考文献

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致谢