空间分数阶导数的Schrödinger方程的整体解及吸引子的存在性

摘要

Schr(o)dinger方程是1925年由奥地利物理学家Schr(o)dinger建立的，它是量子力学的基本方程，揭示了微观物理世界物质运动的基本规律.经典的Schr(o)dinger方程是基于布朗型的积分路径得到的，将布朗型的积分路径替换为Lévy型的量子力学路径时，就得到了分数阶的Schr(o)dinger方程.本文主要考察了具有周期边界条件的空间分数阶导数的非线性Schr(o)dinger方程与空间分数阶导数的拟线性Schr(o)dinger方程，运用能量估计的方法，研究其整体弱解以及整体吸引子的存在性.
　　本文共由五章组成：
　　第一章主要介绍了偏微分方程的发展趋势，分数阶Schr(o)dinger方程诞生的物理背景，给出本文的结构安排以及一些本文所需要的定义、符号和常用到的引理.
　　第二章考虑具有弱阻尼和外力项的分数阶非线性Schr(o)dinger方程，利用能量方法讨论得到方程解u在Hα(Ω)上的先验估计，通过Galerkin方法构造近似解序列来证明得到整体解的存在唯一性.本章最后一部分，采用与时间t无关的先验估计，证明得到方程的整体强吸引子的存在性.
　　第三章讨论具有一定条件下的分数阶拟线性Schr(o)dinger方程，首先论证解u在Hα(Ω)上的先验估计，再通过构造近似解序列理论和Sobolev空间的逼近理论以及嵌入定理证明得到弱解的存在性.
　　第四章考虑具有一定条件下的一类具有周期边界条件的带弱阻尼的分数阶拟线性Schr(o)dinger方程，通过对解u进行能量估计，采用Galerkin方法构造近似解序列，得到弱解的存在性.最后利用算子半群和吸引子的理论得到方程的整体弱吸引子的存在性.
　　第五章，对全文做一个总结讨论，并提出一些问题供今后进一步研究.
　　本文的主要特点及难点在于对具有周期边界条件的分数阶非线性Schr(o)dinger方程和分数阶拟线性Schr(o)dinger方程进行解的先验估计时，会遇到许多常规方法难以解决的困难，对此，我们针对不同的方程，采用细致且复杂的先验估计来解决困难.

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1 前言

1.1 分数阶Schr?dinger方程的诞生背景

1.2 国内外研究现状

1.3 本文的主要工作

1.4 预备知识

2 带弱阻尼的分数阶非线性Schr?dinger方程的整体强吸引子

2.1 引言及主要结果

2.2 先验估计

2.3 解的存在性

2.4 整体强吸引子的存在性

3 分数阶拟线性Schr?dinger方程弱解的存在性

3.1 引言及主要结果

3.2 先验估计

3.3 弱解的存在性

4 带弱阻尼的分数阶拟线性Schr?dinger方程的整体弱吸引子

4.1 引言及主要结果

4.2 先验估计

4.3 整体弱吸引子的存在性

5 总结与讨论

5.1 总结

5.2 讨论

致谢

参考文献

附录 攻读硕士学位期间发表的学术论文