几种高精度紧致差分格式的构造与应用

摘要

紧致差分格式和超紧致差分格式在数值计算中有着高精度和高效率的特点，但这些格式在求解实际问题时也存在缺陷。首先，在实际的流体流动问题中，上游的状态对下游的状态影响很大。使用对称形式的超紧致差分格式求解实际流体流动问题时，理想地认为某个网格点的上游和下游对该网格点的影响相同，这显然与实际流动情形不相符。其次，采用紧致差分格式对实际流动问题计算时，为了提高计算精度将会选取更多的网格点，这无疑加大了计算量，所以非网格划分对于解决实际流体问题显得尤为重要。
　　本文以紧致差分格式为基础，基于泰勒展开构造了迎风超紧致差分格式(Upwind super compact difference scheme，USCD)，以及非均匀网格上的三格点四阶精度的紧致差分格式(Third-point fourth-order compact difference scheme on the non-uniform grid，N-CD4)和非均匀网格上的三格点六阶精度的超紧致差分格式(Third-point sixth-order super compact difference scheme are proposed on the non-uniform grid，N-CSCD)。
　　对文中构造的USCD格式，利用Fourier分析方法对该格式的数值特性进行了分析，并与其它的迎风差分格式和迎风紧致差分格式做了对比。结果反映出本文构造的迎风超紧致差分格式具有更好的分辨率和更低的耗散。对Burgers方程，KdV-Burgers方程和二维Burgers方程的数值模拟结果进一步证实了迎风超紧致差分格式格式有更高的精度和对长时间演化问题的有效性。
　　本文构造的N-CD4格式和N-CSCD格式具有简单的差分格式形式、自由和灵活的网格剖分，并且能适用于多数流体力学问题的模拟，对格式的截断误差分析表明了这两种格式的高精度。采用N-CD4和N-CSCD数值模拟了Burgers方程和对流方程，将数值结果与均匀网格上的三格点四阶精度的紧致差分格式(Third-point fourth-order compact difference scheme，CD4)和均匀网格上的三格点六阶精度的超紧致差分格式(Third-point sixth-order super compact difference scheme are proposed on the non-uniform grid，CSCD)的数值解果做了对比，可以看出本文提出的格式能够适用于流体力学中的大梯度问题，并在数值模拟中能保持高的精度和稳定性。

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西北师范大学研究生学位论文作者信息

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第一章 绪 论

1.1计算物理学的发展

1.2数值计算方法简介

1.3紧致差分方法简介

1.4 本论文的主要工作与结构安排

第二章 时间离散格式与误差分析方法

2.1 时间离散格式

2.2 误差分析方法

第三章 迎风超紧致差分格式的构造与应用

3.1 引言

3.2 迎风超紧致差分格式的构造

3.3 迎风超紧致差分格式的精度分析

3.4 数值算例

3.5 结论

第四章 非均匀网格上三格点四阶精度紧致差分格式的构造与应用

4.1 引言

4.2 非均匀网格上三格点四阶精度紧致差分格式的构造与精度分析

4.3 数值算例

4.4 结论

第五章 非均匀网格上三格点六阶精度超紧致差分格式的构造与应用

5.1 非均匀网格上三点六阶超紧致差分格式的构造与精度分析

5.2 Burgers方程数值算例

5.3 结论

第六章 结论与展望

参考文献

附录 攻读硕士期间已完成和发表的论文与主要成果

致谢