利用最优化方法确定二阶抛物型方程的低阶项系数

摘要

偏微分方程反问题是一个新兴的研究领域。通常正问题研究由给定的方程和相应的初边值条件来求方程的解。与正问题不同,反问题研究由解的部分已知信息来求定解问题中的某些未知量,如方程中的系数,定解问题的区域或是某些定解条件。反问题大都具有不适定的特点,该特点也是反问题研究的难点所在。一个问题如果其解存在,唯一并且连续依赖于输入数据,就称该问题是适定的,否则称为不适定。由于定解数据常为试验观测数据,难免有误差,故而当一个问题不适定时,定解数据的微小变化将会导致问题解的巨大变化,此时得到的解将毫无意义。因此解决反问题的关键在于寻找问题的适定性条件,使得原问题在新的条件下是适定的。
　　本文研究在已知一个二阶抛物型方程的终端值的情况下,反求其低阶项系数q的反问题。这种类型的反问题在诸如金融,物理等许多应用科学领域具有重要意义。根据未知系数q的维数不同,有两类不同的问题分别记为问题P l和P2。问题P l中的未知系数q仅与空间变量T相关,而与时间变量t无关,即 g= q(x)。问题P2中的未知系数q不仅与空间变量T相关,而且与时间变量t也相关,即 q= q(x,t)。问题P2通常称为发展型的反问题。本文利用最优化方法对两类问题都作了深入分析。
　　全文共分为三个部分。
　　第一章对问题PI, P2及其相关的研究背景作了简要介绍。
　　第二章主要从理论分析角度讨论问题P1。§2.1分析了问题P l的强不适定性。§2.2将问题Pl化为一个最优控制问题,并构造了控制泛函。§2.3讨论了控制问题及其道近问题极小元的存在性。§2.4则给出了控制问题及其道近问题极小元所满足的必要条件。§2.5证明了道近问题的解收敛于原控制问题的解。由于控制泛函非凸,一般来说没有唯一性。最后一小节在假设T比较小的情况下,得到了极小元的局部唯一性。
　　第三章则主要从理论分析角度讨论问题P2。§3.1分析了P2的强不适定性。问题P2与问题P l不同,直接利用附加条件整体重构未知系数q(x,t)难以克服数值不稳定的缺陷。§3.2将重构q(x,t)的反问题化为一个逐层重构qn, n=l,---, N的问题,并得到了(In所满足的必要条件。Qn称为第n层上的最优控制元,利用qn我们定义了离散最优控制元#(>,i)。§3.3得到了一些与qh{x,t)相关的一致有界估计,所有的估计均与时间步长h无关。§3.4中证明了当/I—O时,qh(x,t)必收敛于极限最优控制元并建立了q(x,t)所满足的必要条件。最后一小节证明了q(x,t)在L2意义下是唯一的,并且连续依赖于定解条件。

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第一章引言

第二章未知系数仅与空间变量相关的反问题

§ 2 .1 问题简介

§ 2 .2 最优控制问题

§ 2 .3 存在性

§ 2 .4 必要条件

§ 2 .5 逼近解的收敛性

§ 2 .6 局部唯一性

第三章未知系数与空间变量及时间变量都相关的发展型反问题

§ 3 .1 问题简介

§ 3 .2 半离散最优控制问题

§3.3 —致估计

§ 3 .4 当 /i — 0 时 qh(x,t)的渐近性分析

§ 3 .5 稳定性与唯一性

致谢

参考文献

攻读学位期间的研究成果