一类双稳型趋化—扩散—增长模型的斑图

摘要

本文主要研究如下带双稳型源项Keller-Segel模型{Ut=a▽2U-b▽(U▽V)+kU(1-U)(U-h)，Vt=d▽2V+fU-gV在d-维方体Td=（0，π）d(d=1，2，3)上满足齐次Neumann边界条件时的不稳定常数平衡解附近的非线性动力学行为.证明对于任意给定一般扰动的δ，在一个以ln1/δ为阶的时间周期内，它的非线性演化由相应的线性化模型的有限个最快增长模式所控制.当δ→0时产生非线性不稳定性.这种不稳定有可能在爆破之前产生.另一方面，每一个初始扰动所产生的作用一定会与其它初始扰动所产生的的作用截然不同，这就导致了斑图的多样性.全文由七部分组成.
　　(1)证明常微分方程组形式的模型{dU/dt=kU(1-U)(U-h)，dV/dt=fU-gV的正平衡点A3=（h，fh/g）是不稳定的.平凡平衡点A1=(0，0)和正平衡点A2=（1，f/g是局部渐近稳定的.
　　(2)证明不带趋化项的反应扩散模型{Ut=d1▽2U+kU(1-U)(U-h),x∈Td,t＞0,Vt=d2▽2V+fU-gV.x∈Td,t＞0,(e)U/(e)xi=(e)V/(e)xi=0xi=0，π，1≤i≤d的平凡平衡点A1=(0，0)和正平衡点A2=(1，f/g)是局部渐近稳定的，其中Td=(0，π)d(d=1，2，3).
　　(3)证明交错扩散模型{Ut=d1▽2U-d3▽2V+kU(1-U)(U-h),x∈Td,t＞0,Vt=d2▽2V+fU-gV.x∈Td,t＞0,(e)U/(e)xi=(e)V/(e)xi=0xi-=0，π，1≤i≤d平凡平衡点A1=(0，0)和正平衡点A2=（1，f/g)是局部渐近稳定的，其中Td=（0，π）d(d=1，2，3).
　　(4)利用Young和Grownwall不等式研究模型(0.7)增长模式.
　　(5)提出并证明Bootstrap引理.即利用偏微分方程理论得到模型(4.1)和(4.2)局部解的存在性.证明了模型(4.1)和(4.2)的解既满足齐次Neumann边界条件也满足周期边界条件.
　　(6)证明本文的主要结论，即线性不稳定性和斑图的生成模式.设θ是一个小的固定的常数，且λmax是最大特征值.用(v)＞0表示λmax与其他特征值的最小距离，则对于任意小的δ＞0，定义逃逸时间Tδ.对于任意的ε＞0，一般扰动的动力学的特性是由相应的线性动力学在一个较长的时间周期εTδ≤t≤Tδ上来刻画的.
　　(7)利用能量估计，叠加原理，Sobolev嵌入定理，Gagliardo-Nirenberg不等式以及Young不等式等说明对于这类双稳型趋化-扩散-增长模型，证明对于任意给定一般扰动的δ，在一个以ln1/δ为阶的时间周期内，它的非线性演化由相应的线性化模型的有限个最快增长模式所控制.

目录

声明

摘要

引言

1 常微分方程组形式的模型(0．7)解的稳定性

2 不带趋化项的反应扩散模型解的稳定性

3 交错扩散模型解的稳定性

4 模型(0．7)的增长模式

5 Bootstrap引理

6 主要结果

7 结论

参考文献

致谢

攻读学位期间的研究成果