基于最优控制理论的退化抛物型方程的源项反演问题

摘要

众所周知,个别典型的反问题可以追溯到很早以前,但反问题的兴起倒是近几年的事。反问题并没有精确的定义,它是相对于正问题而言的,从实际情况来看,研究反问题的难度要远远大于相应的正问题的难度。因为解决正问题是根据已有的信息来得到结果,而反问题的解决是则需根据一些通过测量或者实验得到的零碎信息来反演出未知的原始信息。很明显这违反了物理过程的自然顺序,它不再满足正问题中许多良好的性质,这也正是反问题研究的难点所在。
　　我们知道,大多数反问题都是不适定的,也就是说,反问题的解不存在,或不唯一,或不稳定。因为在解反问题的时候我们能够用到的已知信息很少,大多都是要通过测量或实验得到的,但在实际操作过程中不可避免的会存在误差,由于反问题的不适定性,微小的误差可能会导致反问题的解被无限放大,致使得到的结果毫无意义。
　　全文共分为以下五个部分:
　　第一章介绍了反问题的研究背景和国内外研究动态。
　　第二章主要从理论分析的角度研究了一类发展型反问题。
　　§2.1提出了要解决的问题P。
　　§2.2考虑到所研究问题的不适定性,将问题P转换成了一个控制问题,并证明了控制泛函极小元的存在性。
　　§2.3推导出了最优解所满足的必要条件。
　　§2.4则通过由离散观测数据重新构造出的连续函数证明了最优解满足的某种连续性。
　　§2.5对本章做了小结。
　　第三章讨论了一类退化型的抛物型方程。
　　§3.1提出了要解决的问题Q,它与问题P不同,问题Q不需要给出边界条件,换句话说,它不满足一致椭圆型条件。
　　§3.2也是将问题Q转化成了一个最优控制问题。
　　§3.3证明了控制泛函极小元的存在性。
　　§3.4推导出了最优解满足的必要条件。
　　§3.5则通过上一节得到的必要条件证明了最优解的全局唯一性和稳定性。
　　§3.6对本章做了小结。
　　第四章主要是对第三章中提出的模型从计算的角度做了数值模拟。
　　§4.1提出了共轭梯度迭代法并给出了相应的迭代步骤。
　　§4.2通过两个具体的实例验证了反演效果,从结果可看出所用的迭代法有很好的稳定性,并且未知源项恢复得比较好。
　　§4.3对本章做了小结。
　　第五章对全文做了总结与展望。对问题P来说,后续的主要工作是从数值角度来研究,寻找一种好的迭代法并能够很好地恢复出反演的参数。另外,本文从一维的角度讨论了问题Q,对于高维的情形,也可用类似的方法进行研究。当然,可以想象到对高维问题做数值模拟要比一维情形复杂的多,这也是后续的主要工作。

目录

封面

声明

中文摘要

英文摘要

目录

1 绪论

1.1 引言

1.2 热传导方程参数反演的背景和国内外研究现状

1.3 本文的主要工作

2 未知系数与时间变量和空间变量都相关的反问题

2.1问题的提出

2.2 最优控制问题

2.3 必要条件

2.4 收敛性

2.5 本章小结

3 退化抛物型方程的反问题

3.1问题的提出

3.2 最优控制问题

3.3 极小元的存在性

3.4 必要条件

3.5 唯一性和稳定性

3.6 本章小结

4迭代法和相应的数值模拟

4.1 共轭梯度迭代法的提出

4.2 数值模拟

4.3 本章小结

5 总结与展望

5.1 主要研究结论

5.2 进一步研究展望

致谢

参考文献

攻读学位期间的研究成果