一种新的求解代数Riccati方程的动态权重Halley型迭代方法

摘要

代数Riccati方程在不同领域内具有广泛的应用背景,如控制系统理论,随机流体模型,排队模型,微分博弈模型等。因此,对代数 Riccati方程有效算法的研究具有重要的理论意义和应用价值。我们知道求解代数 Riccati方程的问题可以转化为求解矩阵符号函数的问题,并且知道了求解矩阵符号函数的Halley迭代方法。
　　本文通过对Halley迭代加入权重参数,得到了一种新的动态权重的Halley型迭代方法.为了提高动态权重的Halley型迭代方法的收敛速率,我们通过求解一个最大化最小值问题得到了优化参数。当代数Riccati方程的Hamiltonian矩阵的特征值虚数部分过大或含有零特征值时,都会影响算法的收敛速率.针对这些情况,我们还提出了特征值变换的方法用来提高算法的收敛速率.数值实验表明,动态权重Halley型迭代方法的收敛速率比原始的Halley迭代方法的收敛速率更快,经过特征值变换的方法对算法的加速效果也是明显的。

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第一章 概述

1.1 代数 Riccati方程的应用背景

1.2 代数 Riccati方程的研究现状

1.3 本文的主要研究内容和组织结构

1.4 符号表

第二章 代数 Riccati 方程与矩阵符号函数

2.1 代数 Riccati方程的特定解的唯一性基本理论

2.2 矩阵符号函数方法

2.3 矩阵符号函数的求解

2.3.1 Newton 类迭代方法

2.3.2 Padé 类迭代方法

第三章 动态权重 Halley 型迭代方法及最优权重参数选取

3.1 动态权重 Halley型迭代方法

3.2 最大化最小值问题

3.3 算法与收敛性

第四章 矩阵特征值变换技巧

第五章 数值例子

第六章 总结与展望

参考文献

致谢