若干概率型算子列的点态逼近性质

摘要

本文主要研究概率型算子关于不连续函数的点态逼近性质；内容包含两个方面，一是一元概率型算子关于具有一定增长条件的局部有界函数在第一类间断点处的点态逼近渐近估计，二是二元概率型平均算子关于一类二元函数在其第一类间断点处的点态逼近定理． 本文共分为七章．第一章，主要是回顾逼近论研究领域中关于不连续函数的点态逼近性质研究的历史和目前的进展，以及本文的主要内容．第二、三、四章是关于第一方面的内容，第五、六、七章是关于第二方面的内容． 第二章，主要是通过举一个反例，指出V． Gupta和Kumar在文献[29]中给出的关于修正的Baskakov算子列对[0，+∞)上局部有界变差函数的点态逼近渐近估计式，即文献[29]中的定理4，是错误的，并应用Bojanic—Cheng方法和概率论方法，给出修正的Baskakov算子列对[0，+∞)上局部有界变差函数的正确的点态逼近渐近估计式． 第三章，主要研究修正的Gamma算子列对一类广泛的函数类Bloc((O，+∞)，eβ/t，tP)(β＞0，P∈N)(参见定义1.2)在其第一类间断点处的点态逼近性质．利用改进的Bojanic—Cheng方法和概率论方法，结合新度量Ωx(f，λ)，给出修正的Gamma算子列对函数f∈Bloc((0，+∞)，eβ/t，tP)的点态逼近渐近估计式，所得的结果包含局部有界变差函数作为特例．同时还研究修正的Gamma算子列关于其导数为局部有界函数的绝对连续函数的点态逼近性质，得到其逼近度渐近估计式，并证明其收敛阶在渐近意义下不可改进． 第四章，利用古典的分析方法先得到一个关于正态分布密度函数积分的不等式，进而利用Bojanic—Cheng方法得到Gauss—Weierstrass算子列Wn(f，x)关于函数f∈Bloc((—∞，+∞)，e—βt，eβt)，(β＞0)在其第一类间断点处的点态逼近渐近估计式．所得的结果包含局部有界变差函数为特例，并且优于M．K．Khan和S．Guo在文献[12]中所得的结果．同时还研究并得到Wn(f，x)关于其导数为局部有界函数的绝对连续函数的逼近度渐近估计式． 第五章，首先引入二元函数的第一类不连续点的概念，并给出二元函数类IB(R2)(参见定义5.3)．然后研究二元Gauss—Weierstrass张量积算子Wn[f(u，v)；x，y]关于函数类IB(R2)的点态逼近性质，并得到其逼近定理．由此逼近定理，结合概率论中心极限定理，很容易给出一般二元张量积算子Tn[f(u，v)；x，y]的逼近定理，它包含M．K．Khan在文献[34]中得到的推论1.1． 第六章，在研究二元Gauss—Weierstrass张量积算子Wn[f(u，v)；x，y]对f∈IB(R2)的点态逼近的基础上，进一步研究二元Gauss—Weierstrass平均算子(W)n[f(u，v)；x，y]对f∈IB(R2)的点态逼近性质．二元平均算子(W)n[(f(u，v)；x，y]对f∈IB(R2)的点态逼近研究无疑要比二元张量积算子Wn[f(u，v)；x，y]复杂得多，涉及到方向性的问题．我们利用仿射坐标变换方法，结合第五章的方法给出(W)n[f(u，v)；x，y]对f∈IB(R2)的点态逼近定理． 第七章，运用概率论知识和方法，特别是二维的中心极限定理，我们在函数f∈IB(R2)的第一类间断点处研究了一般概率型平均算子列Mn[f(u，v)；x，y]对二元Gauss—Weierstrass平均算子(W)n[f(u，v)；x，y]的极限定理，从而得到一般概率型平均算子列Mn[f(u，v)；x，y]对f∈IB(R2)的点态逼近定理，M．K．Khan在文献[34]中得到的定理1.4是它的推论．

目录

文摘

英文文摘

声明

第一章绪论

1.1引言

1.2本文的主要内容

第二章修正的Baskakov算子关于局部有界变差函数的逼近性质

2.1引言

2.2预备结果

2.3主要定理的证明

第三章修正的Gamma算子的点态逼近性质

3.1引言

3.2关于局部有界函数的点态逼近

3.2.1 主要定理和推论

3.2.2预备结果

3.2.3 定理的证明

3.3关于绝对连续函数的点态逼近

3.3.1 主要定理及其推论

3.3.2 定理的证明

3.3.3评注

第四章关于一元Gauss-Weierstrass算子的点态逼近性质

4.1引言

4.2 Gauss-Weierstrass算子关于局部有界函数的点态逼近

4.2.1 主要定理及推论

4.2.2预备结果

4.2.3 定理的证明

4.3 Gauss-Weierstrass算子关于绝对连续函数的点态逼近

4.3.1 主要定理及推论

4.3.2定理的证明

第五章Gauss-Weierstrass张量积算子对一类二元函数的逼近

5.1引言和定义

5.2二元Gauss-Weierstrass张量积算子对函数类IB(R2)的点态逼近定理

5.3辅助结果

5.4点态逼近定理的证明

5.5逼近举例

第六章Gauss-Weierstrass平均算子对一类二元函数的逼近

6.1引言

6.2二元Gauss-Weierstrass平均算子关于函数类IB(R2)的点态逼近定理

6.3算子(～W)n[f(u,v);x,y]关于函数类IB(R2)的点态逼近定理的证明

6.3.1 辅助结果

6.3.2 点态逼近定理的证明

6.4算子(-W)n[f(u,v);x,y]关于函数类IB(R2)的点态逼近定理的证明

第七章一般的二元平均算子对一类二元函数的逼近

7.1引言

7.2一般的二元平均算子Mn[f(u，v)；x，y]对二元函数类IB(R2)的点态逼近定理

7.3辅助结果

7.4算子Mn[f(u,v);x,y]对算子(-W)n[f(u,v);x,y]的极限定理的证明

参考文献

在学期间完成的学术论文

致谢