基于二次均值重心坐标的图像变形

摘要

随着计算几何这个领域的逐渐发展，重心坐标作为计算几何中的一个重要工具也在逐渐进步。最开始的重心坐标是定义在三角形上的，它具有仿射不变性、lagrange性质、正性、归一性等很多很好的性质。然而在实际应用中碰到更多的是多边形，甚至是多面体，所以在此基础上，将重心坐标推广到了广义的重心坐标。根据不同的广义重心坐标的用途，广义重心坐标的种类也很多。但是，在本文之前所提出的广义重心坐标大多数都是一次的重心坐标，很少涉及到高阶的重心坐标，即使有部分文章研究了高阶的重心坐标，也没有给出明确的计算方法，这是不利于实际使用的。然而在实际应用中，相比于一次的重心坐标，高阶的重心坐标不仅可以提高自由度，加速收敛，并且可以同构高次的多项式，这是一个很大的优势，正是因为这样，本文才着重研究了二次重心坐标，并对其进行了一定的改进。本文共分为四章。
　　第一章主要介绍了重心坐标和广义重心坐标产生的背景和性质，并对各种广义的重心坐标的优缺点有一个简单的总结。
　　我们的主要工作集中在第二章的应用和第三章上。第二章发现了在实际生活之中，如果希望重心坐标有更高的精度或者是更高的收敛阶，那么则需要增加一些附加条件，但是这些附加条件往往是很难求得的。正因如此，本文使用偏微分方程中的巧凑边点元这一方法来计算凸多边形的二次重心坐标。本章前半部分介绍了二次重心坐标的算法，并描述了二次重心坐标应有的性质，这是由Alexander等人提出的。而后半部分将二次的均值重心坐标对图像进行变形，通过选取对应边任意点，我们可以对图像进行压缩或者拉伸，相比较于Alexander等人提出的二次重心坐标，将中点改为任意点使得变形结果更加丰富。
　　在第三章中，我们提出了凹多边形的二次重心坐标。由于二次重心坐标计算方法的问题，它是无法计算凹多边形的重心坐标的。但是在实际生活中，很多物体的形状都是凹的，所以需要将二次重心坐标推广到凹多边形上，这时便考虑到了计算机图形学里所使用到的参数化。本文将凹多边形运用参数化映射到单位圆上，此时使用映射之后多边形的比例计算二次重心坐标，使用这种方法尝试做图像变形，得到了更加多样的变形结果。
　　在最后一章中，我们总结了本文的主要工作，也通过数值实验发现同构性质无法保证，这也就是我们今后研究工作的一个方向。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 问题的提出以及发展

1．2 重心坐标

1．2．1 重心坐标的定义

1．2．2 重心坐标的性质

1．3 广义重心坐标问题的定义及性质

第二章 凸多边形上的二次重心坐标及其应用

2．1 凸多边形二次重心坐标的定义

2．2 凸多边形二次重心坐标的构造

2．2．1 巧凑边点元

2．2．2 Lagrange化

2．3 凸多边形上二次重心坐标的性质

2．4 二次均值重心坐标在图像变形中的应用

2．4．1 映射方向

2．4．2 应用

第三章 凹多边形的二次重心坐标

3．1 参数化

3．2 凹多边形的二次均值重心坐标的计算及应用

第四章 本文总结和展望

参考文献

致谢