波动方程特征值问题的新型超收敛有限元分析方法

摘要

有限元方法是目前结构分析领域应用最为广泛的一种数值方法。自振频率计算作为结构分析中的一个重要内容，可归结为典型的特征值问题，例如:一维波动方程可描述杆结构振动，其特征值为杆结构自振频率;二维波动方程可描述膜结构振动，相应的特征值为膜结构自振频率;三维波动方程可描述声压在空间中的传播，其特征值为声压的振动频率。采用有限元法求解波动方程特征值问题时，质量矩阵的构造方法会直接影响振动频率的计算精度。因而，如何构造可使自振频率有更高收敛阶次及精度的高阶质量矩阵具有重要的研究价值。然而，目前的高阶质量矩阵多限于一维和二维低阶单元，并且二维高阶质量矩阵所得频率计算精度依赖于波的传播方向，不能同时提高各阶频率的收敛阶次及精度。此外，目前对于任意阶单元并没有统一的高阶质量矩阵构造方法。
　　本文针对波动方程特征值问题有限元分析，提出了一种适用于任意阶单元和维数的新型超收敛有限元分析方法。首先，在Lobatto单元的基础上提出了任意阶一维杆单元高阶质量矩阵的统一构造方法。该方法采用了一种新的质量矩阵构造模式—α矩阵，通过优化参数α可直接构造任意阶Lobatto杆单元的高阶质量矩阵。相较于传统的一致质量矩阵和集中质量矩阵，采用高阶质量矩阵的频率计算精度可以提高2阶。随后，对于二维平面膜结构振动问题和三维波动问题，提出了一种基于积分点的新型超收敛有限元分析方法，该方法中采用的新型积分点是通过对比分析一维高阶质量矩阵确定的。本文提出的新型超收敛有限元分析方法完全消除了超收敛计算中频率的波动方向依赖性，可使任意阶频率的收敛阶次同时提升2阶，同时新型积分点可以通过张量积的形式简便地推广到多维问题，数值实现简便直接。文中通过理论分析和数值计算详细验证了所提波动方程特征值问题新型超收敛有限元分析方法的有效性和计算精度。

目录

声明

摘要

第一章 绪论

1．1 引言

1．2 结构振动超收敛分析方法

1．3 论文的选题背景

1．4 本文的主要内容

第二章 波动方程特征值问题的有限元分析

2．1 拉格朗日单元

2．1．1 一维单元形函数

2．1．2 多维单元形函数

2．2 Lobatto单元

2．2．1 一维单元形函数

2．2．2 多维单元形函数

2．3 波动方程特征值问题有限元分析

2．3．1 计算模型

2．3．2 等参近似

2．3．3 有限元离散及质量矩阵分类

2．3．4 拉格朗日单元与Lobatto单元频率计算结果对比

2．4 本章小结

第三章 杆结构超收敛有限元分析方法

3．1 杆结构振动问题高阶质量矩阵统一构造方法

3．1．1 线性单元的高阶质量矩阵

3．1．2 二次单元的高阶质量矩阵

3．1．3 三次和四次单元的高阶质量矩阵

3．2 数值算例

3．3 本章小结

第四章 膜结构振动问题的超收敛有限元分析方法

4．1 膜结构振动问题翘收敛分析方法

4．1．1 四节点双线性单元超收敛分析方法

4．1．2 膜结构高阶有限元超收敛分析方法

4．2 数值算例

4．2．1 方膜振动算例

4．2．2 长方形膜振动算例

4．2．3 圆膜振动算例

4．3 膜结构超收敛分析方法频散特性

4．4 四节点单元新型超收敛分析方法与高阶质量矩阵方法比较

4．5 本章小结

第五章 三维波动问题超收敛分析方法

5．1 三维波动问题的超收敛分析方法

5．2 数值算例

5．2．1 立方体空腔算例

5．2．2 长方体空腔算例

5．2．3 圆柱空腔算例

5．3 三维波动方程超收敛分析方法频散特性

5．4 本章小结

第六章 结论与展望

6．1 结论

6．2 展望

参考文献

致谢

作者攻读硕士学位期间撰写的论文