带五次项的非线性Schrodinger方程的辛和多辛算法

摘要

1984年我国计算数学的奠基人冯康院士首次系统地提出了能保持哈密顿系统辛结构不变的辛几何算法. 近几年来，此算法得到了迅猛的发展，并成功地解决了许多实际问题，模拟了各种物理现象. 本文考虑了带五次项的非线性Schr?dinger方程的(单)辛和多辛算法. 构造了该方程的(单)辛格式、多辛Preissman格式和多辛Fourier拟谱格式. 本文第一章为引言部分，简单介绍了辛算法的发展历史和现状，以及在这一领域取得的一些研究成果. 第二章主要讨论了带五次项的非线性Schr(o)dinger方程的(单)辛算法，构造了它的(单)辛格式，并用数值实验验证了该格式具有长时间的数值模拟能力. 第三章首先简单介绍了多辛哈密顿系统及其相关的守恒律，然后构造了带五次项非线性Schr(o)dinger方程的多辛Preissman格式，证明了此多辛格式保持电荷守恒，分析了它的能量误差，并用能量方法分析了该格式的稳定性和收敛性.最后用数值实验验证了我们的理论分析是正确的，即该格式具有长时间的数值稳定性. 第四章首先简单介绍了多辛Fourier拟谱方法的预备知识，并构造了带五次项的非线性Schr(o)dinger方程的多辛Fourier拟谱格式，最后通过数值例子说明了该格式的有效性. 第五章对全文的主要内容做了简单的总结，并对(单)辛和多辛算法的未来方向做了一些展望.