凸几何分析中John椭球型极值位置问题研究

摘要

本论文的研究课题属于凸几何分析的范畴。在凸几何中，一个重要的问题是与几何体相联系的极值位置问题，即研究几何量在线性变换下取得极大或极小值的像的问题。经典的仿射极值问题有John椭球，Legendre椭球，L?wner椭球，LYZ(Lutwak,Yang,Zhang)椭球以及它们的各种推广形式。在前人的基础上，本文继续研究凸体的仿射极值问题。我们主要研究和解决了以下两类问题： (1)Orlicz平均宽度的极值位置及其相关等周不等式。我们证明了：如果φ是一个单调递增，连续可微的凸函数，则对Rn中的凸体K而言，它取到最小Orlicz平均宽度的充要条件是测度dμφ(K,·)=φ′(hK)hKdσ是迷向的。其中hK表示K的支撑函数，dσ是Sn-1上旋转不变的概率测度。 (2)一般球面Borel测度的相对Lp离心率的极值位置。LP离心率是与一般球面Borel测度的仿射象相联系的几何量，它通常用来表示施加于球面Borel测度上的线性变换相对于另一个变换的差异比例大小，研究它的仿射极值位置问题有着十分重要的意义。本论文给出了当p>0时，Lp离心率取得其仿射变换下的最小值的充要条件。

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