解二维Laplace方程Dirichlet问题直接边界积分方程的Galerkin边界元法

摘要

Laplace方程是最典型，最简单但应用广泛的椭圆型偏微分方程。用边界元法解边值问题，由不同的边界归化方法可以得到不同的边界积分方程，数值求解边界积分方程也有好几种方法。本文考虑用Green公式和基本解推导得出直接边界积分方程来求解二维Laplace方程的Dirichlet问题，该直接边界积分方程是第一类Fredholm积分方程。对二维问题，一般的带对数积分核第一类Fredholm积分方程并不总是唯一可解的，特别是对外边值问题，解在无穷远处的形态有很大的影响。 人们在用直接边界元方法进行计算时，并不刻意去考虑积分方程的可解性，但可解性的问题是不能回避的，这涉及到原问题的解与边界积分方程的解的等价性问题。事实上，对内边值问题，第一类Fredholm直接边界积分方程的可解性条件是自然得到满足的，本文对此做了验证。对外边值问题，考虑到二维Dirichlet问题的解应当在无穷远处有界，故解的边界积分表达式要做修正，对积分方程的解要有约束，这样去解边界积分方程得出的解才等同于原问题的解。 一般来说，直接边界积分方程可以很方便的用配点法求解，还未见有实际用Galerkin边界元来解的报道。本文采用Galerkin边界元方法求解直接边界积分方程，是为了验证这两种方法的效率和精度，且Galerkin法易于进行收敛性分析。Galerkin边界元方法是把积分方程转化为等价的边界变分方程，经用边界元离散后，通过求解线性代数方程组和计算解的离散的积分表达式求得原问题的数值解，该方法需要在边界上计算重积分。本文推出了第一重积分的解析计算公式，对外层积分则采用高斯数值积分。 对外边值问题，第一类Fredholm积分方程的解要附加在边界上积分为零的条件，本文采用Lagrange乘子放松这个约束，求解扩展的变分方程时，可同时得出解在无穷远的值。 本文采用常单元和线性元这两种离散方式，分别用Fortran90编写了计算程序，对误差与边界元的数量的关系做了数值实验。数值算例表明本文的计算方法是可行的、有效的，用Galerkin方法求解边界积分方程比用配点法精度高。