基于变分PDE的图像去噪方法研究

摘要

图像去噪作为图像的预处理阶段，它的存在有着非常重要的意义，其主要目的就是去除图像的干扰信息，保护图像的局部特征，改善图像的质量，为图像的后续处理（如边缘检测，图像分割，特征提取等）提供可靠的保证，在图像处理领域中占据着非常重要的位置。而基于偏微分方程（partial differential equation, PDE）的图像去噪方法由于将数学与工程结合得更加紧密，具有较强的自适应能力和灵活性以及容易对模型进行修改等特点，近年来在去除图像噪声和保护图像的边缘细节信息等方面得到了快速发展。
　　这种基于PDE的图像去噪方法主要源于约束最优化、能量最小化和变分法，其基本思想是以图像去噪的贝叶斯理论模型为基础，将所研究问题转化为一个运用变分偏微分的方法求解图像相应的能量泛函极小值的过程，该极小值形式为一个偏微分方程，然后再对该方程求解，该数值解就是所求的去噪复原图像。
　　近年来应用比较广泛的当属基于变分PDE的图像去噪模型。该模型将图像的梯度模值作为边缘检测算子，通过检测图像的平坦区和边缘区的梯度大小而自适应地选取全变分模型(Total Variation,TV)和线性扩散模型，将图像边缘检测和图像去噪两个原本独立的过程有机地结合了起来。这其中包括经典TV去噪模型（ROF模型）、广义TV去噪模型和基于梯度模值变化的自适应TV去噪模型。但是，上述模型由于将梯度模值作为边缘检测算子而存在以下两点不足：其一是它不能有效地区分图像的边缘和平坦区内的大梯度的孤立噪声；其二是所采用的梯度算子不能有效识别图像的灰度渐变区等“中等梯度”大小的区域和图像淡边缘的区别。这样一来，即使后来模型的选取十分合理，但是由于决定模型选取的参数（边缘检测算子）的不够准确也不能使图像去噪取得理想效果。
　　鉴于此，本文主要从改进决定选取模型参数的边缘检测算子这一源头问题出发，探讨出一种基于局部坐标二次微分的边缘检测算子，该算子能有效克服上述缺点，并且能利用图像局部信息对正则化项和保真项进行加权，取得了良好效果。同时在数值实现上，采用一种基于梯度矢量方向变化的方法来实现梯度下降流中梯度函数的散度离散化以更加有效地保护图像的局部细节信息，该方法使得在散度算子离散化过程中，各个像素点的来源于“主方向”的4邻点与来源于对角线4邻点的权重能随图像梯度方向的变化而自动调整。数值试验表明，该算法在保留图像的细节边缘方面明显优于传统算法。

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1绪 论

1.1 课题背景和意义

1.2 基于PDE图像去噪的发展与现状

1.3 论文的主要工作

2 PDE在图像去噪中的应用

2.1 数字图像处理的基本知识

2.2 PDE图像去噪的数学模型

2.3 基于滤波技术的PDE去噪模型

2.4 本章小结

3 基于变分PDE的图像去噪模型

3.1 ROF全变分去噪模型

3.2 广义TV去噪模型

3.3 基于梯度模值变化的自适应TV去噪模型

3.4本章小结

4 改进的变分PDE去噪模型

4.1 D算子的引入

4.2 引入D算子模型的建立

4.3 改进模型的离散化与数值实现

4.4 仿真实验与结果分析

4.5 本章小结

5 总结与展望

5.1 工作总结

5.2 问题与展望

致谢

参考文献

附录

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