矩阵的一些扰动界

摘要

矩阵扰动分析主要是研究矩阵元素的变化对矩阵相关问题解的影响问题。它不仅和矩阵与算子理论密切相关,而且在矩阵计算方面也起着重要作用。这种对矩阵问题解的影响往往是用范数的形式来界定,于是就产生了各种形式的扰动界。本文就是在一些原有的矩阵扰动界的基础上通过采用更好的不等式或者人们容易忽略的数据进行重组或者不等式之间进行组合等方式从而得到一些更优的扰动界;主要包括:矩阵加权极分解的扰动界、矩阵加权Moore-Penrose逆的扰动界、特征值的扰动界及可对角化矩阵特征空间的扰动界等。具体结构安排如下:
　　第1章,介绍了我们研究对象的一些重要概念及相关引理,并对本文的研究内容作了总的叙述。
　　第2章,我们研究了保秩扰动下矩阵加权极分解的扰动问题。在加法扰动模型和乘法扰动模型下,得到了一些矩阵加权极因子的扰动界。这些扰动界由于是利用一些更好的不等式得到的,因此在一定程度上改进了已有的相应的矩阵加权极因子的扰动界。作为特列,我们同时也得到了一些次酉极因子的加法和乘法扰动界。
　　第3章,我们研究了非保秩扰动下矩阵加权极分解的扰动问题。我们知道,在日常生中,我们经常碰到原矩阵与其扰动矩阵的秩不相等的扰动即非保秩扰动。因此非保秩扰动才是更一般的扰动。而到目前为止,人们仅仅研究了非保秩扰动下矩阵极分解(广义极分解)的扰动界。于是我们就把这些扰动界推广到矩阵加权极分解上,从而得到了一些非保秩扰动下矩阵加权极分解的扰动界。
　　第4章,我们研究了矩阵加权Moore-Penrose逆的扰动问题。分别在矩阵加权酉不变范数、加权F-范数及加权Q-范数下分别给出了矩阵加权Moore-Penrose逆的乘法扰动界。作为特例,我们同时得到了一些相应的矩阵Moore-Penrose逆的乘法扰动界。所有这些界一致地改进了已发表的相应的结果。
　　第5章,本章考虑了矩阵特征值的扰动问题。主要是得到一些可对角化矩阵特征值的Weyl-型扰动界及Weyl-残差型扰动界。这些界在一定条件下要优于已发表的相应的结果。同时,我们首次给出了Hermite矩阵与可正规化矩阵特征值的Weyl-残差型扰动界。
　　第6章,我们研究了可对角化矩阵特征空间的扰动问题并得到了一些可对角化矩阵特征空间的扰动界。在这些界中,有一些界在一定程度上改进了已发表的可对角化矩阵特征空间的扰动界。而另外一些界则可退化到一些已发表的Hermite矩阵特征空间的扰动界,即推广了已有的Hermite矩阵特征空间的扰动界。
　　第7章,我们对本文的研究作了个简要的总结与讨论。

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符号表

1 绪 论

1.1 矩阵加权广义逆

1.2 矩阵加权极分解

1.3 矩阵特征值

1.4 矩阵子空间之间的正则角

1.5 本文的主要工作

2 保秩扰动下矩阵加权极因子的扰动界

2.1 引言

2.2 一些记号及引理

2.3 加权极因子的加法扰动界

2.4 加权极因子的乘法扰动界

2.5 本章小结

3 非保秩扰动下矩阵加权极因子的扰动界

3.1 引言

3.2 加权酉极因子的扰动界

3.3 广义半正定极因子的扰动界

3.4 本章小结

4 矩阵加权Moore-Penrose逆的乘法扰动界

4.1 引言

4.2矩阵加权Moore-Penrose逆的乘法扰动界

4.3 一些应用

4.4 本章小结

5 矩阵特征值的扰动界

5.1 引言

5.2 Weyl-型扰动界

5.3 Weyl-残差型扰动界

5.4 本章小结

6 可对角化矩阵特征空间的扰动界

6.1 引言

6.2 一些引理

6.3 加法扰动界

6.4 乘法扰动界

6.5 本章小结

7 总结与讨论

致谢

参考文献

附录

A. 作者在攻读博士学位期间发表的论文目录

B. 作者在攻读博士学位期间完成但未发表的论文目录

C. 作者在攻读博士学位期间参加科研项目情况