广义线性模型的理论及应用实例

摘要

线性回归模型主要适用于因变量为连续型（特别是服从正态分布）的随机变量的情况。Nelder和Wedderburn(1972)推广了线性回归模型，提出了广义线性模型(GLM)。该模型通过一个已知的连接函数将因变量的数学期望与自变量的线性函数联系起来，并将因变量的分布推广到指数分布族，可以处理因变量为常见的一些离散型和连续性随机变量的回归分析问题。特别是离散型随机变量，因而对于分析生物、医学、经济和社会数据中常见的属性数据、计数数据有着重要意义。
　　本文主要分理论部分和实例应用部分。论文理论部分主要介绍了指数族分布的定义和其均值方差的推导、连接函数的概念及性质，广义线性模型的基本概念。在模型的参数估计方面，给出了特殊情况下似然方程的解β=(XTX)-1XTY，和一般情况下，似然方程的迭代加权最小二乘解β-(XTWX)-1XTWY。模型的统计推断方面主要是对估计参数的显著性检验，对一组自变量影响显著性的似然比检验和对单个自变量影响的显著性检验。
　　实例应用部分选取了两个实际应用。实际应用一是广义线性模型在生物种群中对雌性马蹄蟹生活习性与体型因素研究的应用。应用Poisson模型分析了雌性马蹄蟹体型特征对其追随者平均数目的关系分析，给出了三类棘刺状况下，估计的追随者平均数目和甲壳宽度和颜色的关系式，得出雌性马蹄蟹的甲壳宽度对追随者的数目有正的影响，而雌性马蹄蟹的颜色深度对追随者的数目有负的影响，并且如果是在甲壳和颜色均相同的情况下，棘刺完好的雌性马蹄蟹趋于具有更多的追随者。应用Logistic模型分析了雌性马蹄蟹体型特征对其具有追随者概率的关系分析，说明在同一颜色等级上，甲壳的宽度每增加一个单位，雌性马蹄蟹具有追随者的优势增加58.1％；对同一甲壳宽度的雌性马蹄蟹，其颜色每变深一个等级，具有追随者的优势减少39%。
　　实际应用二是应用 Logistic模型对急性淋巴性白血病患者的生存时间与病情因素和后续治疗等因素的关系的研究，由分析可知，对于生存时间在一年或一年以上的概率，淋巴浸润等级有负的影响，有无巩固性治疗有正的影响。

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1 绪 论

1.1 研究广义线性模型的意义

1.2 国内外研究现状

1.3 本文研究的目的和内容

2 指数族分布与广义线性模型

2.1指数族分布

2.2连接函数

2.3广义线性模型

3 广义线性模型的最大似然估计

3.1 参数的似然方程

3.2 似然方程的迭代加权最小二乘解法

3.3 似然方程的Newton-Raphson迭代法和Fisher标分法

4 广义线性模型的统计推断

4.1 参数的最大似然估计的渐进分布

4.2 参数的假设检验

5 广义线性模型的应用实例

5.1 实际应用一的研究背景及建模分析

5.2 实际应用二的研究背景及建模分析

6 总结与展望

致谢

参考文献