流固耦合正反散射问题的数值方法

摘要

由时间调和的声波、弹性波以及电磁波所构成的散射问题在实际科学与工程的很多领域都有广泛的应用。本论文考虑一类流固耦合正反散射问题的数值方法。本文所考虑的流固耦合散射问题为流体中内嵌一个可穿透弹性体的声波散射问题，流体中的声波压力场满足Helmholtz方程，弹性体中的位移场满足时谐Navier方程，在流固界面上满足一定的耦合条件。本论文主要由两部分组成：第一部分是关于流固耦合正散射问题的数值方法；第二部分是流固耦合反散射问题的重构算法。在这两个部分中，我们分别考虑两类流固界面，一类是有界的，一类是无界周期的。
　　对于流固耦合正散射问题的数值解研究，一种处理无界区域的方法是边界积分方程方法。我们利用直接法、间接法建立了三种求解有界结构流固耦合正散射问题的边界积分方程组，并分析了相应的变分问题弱解的存在唯一性，对于时谐Navier方程的超奇异边界积分算子，我们给出了一个正则化公式。处理无界区域的另一个常用技巧是引进一个人工边界。对于有界结构流固耦合正散射问题，我们根据人工边界外声波满足的散射问题，分别利用傅立叶级数和边界积分算子定义了两个不同的Dirichlet-to-Neumann(DtN)算子。而对于周期结构流固耦合正散射问题，由于我们只考虑拟周期的平面波入射，这就使得我们可以在单个周期单元内分析波场，根据声波散射场和弹性波位移场满足的Rayleigh展开，我们用级数分别定义了声波和弹性波的DtN算子。通过在人工边界上引入DtN算子，我们可以将原无界问题转化为等价的有界非局部边值问题，在适当的Sobolev空间下，我们证明了相应的变分问题解的存在唯一性。
　　对于流固耦合反散射问题，我们采用分解法构造数值算法来重构弹性体的形状和位置。通常，分解法是基于远场数据的，我们在本论文中讨论基于近场数据的分解法。对于有界结构流固耦合反散射问题，我们在球面或非球面上测量近场数据，分析测量面上的Outgoing-to-Incoming(OtI)算子，然后将这个算子作用于近场算子得到修改的近场算子，通过定义解算子和中间算子，我们得到修改的近场算子的分解式。对于周期结构流固耦合反散射问题，为了从流固界面的上部重构交接面，我们在一个周期的线段上测量声波散射场数据，通过引入一个新的平面入射波允许集，我们得到并分析了近场算子的分解式。最后，根据合适的Range Identity我们得到了有界结构和周期结构流固耦合反散射问题的重构算法。
　　同时，我们考虑了含点状散射体的多尺度流固耦合反散射问题。我们构造了准确解的半解析形式，然后类似于有界结构流固耦合反散射问题，建立了基于近场数据的分解法来同时重构扩张的弹性体和点状散射体。特别地，当没有扩张的弹性体时，我们考虑只有点状散射体的声波反散射问题，根据传统的Multiple Signal Classification(MUSIC)算法，我们利用OtI算子，建立了基于近场数据的MUSCI算法。
　　在每一章的最后，对于考虑的流固耦合正反散射问题，我们给出一些数值例子来验证所提方法的有效性和准确性。

目录

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目录

1 绪 论

1.1 引言

1.2 流固耦合正散射问题数值方法的研究现状

1.3 流固耦合反散射问题数值方法的研究现状

1.4 本文的主要工作

2 有界结构流固耦合正散射问题的边界积分方程方法

2.1 引言

2.2 问题陈述

2.3 直接法

2.4 间接法

2.5 Burton-Miller形式

2.6 超奇异积分算子的正则化

2.7 迦辽金边界元方法

2.8 数值实验

2.9 本章小结

3 有界结构流固耦合正散射问题的基于傅立叶级数的DtN有限元方法

3.1 引言

3.2 问题陈述

3.3 非局部边值问题

3.4 修改的非局部边值问题

3.5 有限元分析

3.6 数值实验

3.7 本章小结

4 有界结构流固耦合正散射问题的基于边界积分方程的DtN有限元方法

4.1 引言

4.2 问题陈述

4.3 非局部边值问题

4.4 弱形式

4.5 数值方法

4.6 数值实验

4.7 本章小结

5 周期结构流固耦合正散射问题基于级数的DtN有限元方法

5.1 引言

5.2 问题陈述

5.3 截断域上的变分形式

5.4 可解性结论

5.5 能量平衡

5.6 截断的DtN算子和有限元方法

5.7 二维变分形式

5.8 数值实验

5.9 本章小结

6 基于非球面近场数据的有界结构流固耦合反散射问题的分解法

6.1 引言

6.2 问题陈述

6.3 近场算子的分解

6.4 数值实验

6.5 本章小结

7 近场数据重构流体中弹性体和点状散射体的分解法

7.1 引言

7.2 基于近场数据的MUSIC算法

7.3 带点状散射体流固耦合反散射问题

7.4 本章小结

8 周期结构流固耦合反问题的分解法

8.1 引言

8.2 问题陈述

8.3 新的入射声波允许集

8.4 人工边值问题和DtN算子

8.5 解算子的性质

8.6 近场算子及其分解

8.7 重构算法

8.8 数值实验

8.9 本章小结

9 总结与展望

9.1 总结

9.2 展望

致谢

参考文献

附录

A. 作者在攻读博士学位期间发表和接收的论文目录

B. 作者在攻读博士学位期间已投稿和正在准备的论文目录

C. 作者在攻读博士学位期间参加的学术交流