具有非局部项的非线性椭圆方程的解

摘要

本文主要研究了两类带有非局部项的椭圆方程解的存在性问题.首先,研究了 Kirchhoff类型椭圆方程解的存在性,其中包括基态解、多解、负能量解和变号解的存在性.其次,对Schr?dinger-Poisson方程组解的存在性问题进行了讨论.具体的结论与使用方法如下.
　　第一章绪论.主要讲述本文所考虑的两类带有非局部项椭圆方程的物理背景与学术意义以及目前国内外的发展现状,最后简单的介绍本文的主要结论和本文所使用的符号.
　　第二章考虑带有 Sobolev临界指数的 Kirchhoff类型的椭圆方程,在RN( N≥4)中的有界区域内,讨论了几种解的存在性问题.当N=4时,在q=2和q(=)(2,4)的情况下,使用 Nehari流形以及 Lions的第一集中紧性原理,克服获得(PS)序列有界性的困难,再结合 Lions的第二集中紧性原理获得了(PS)序列的局部紧性,最后获得方程基态解ub的存在性.并且考虑当b→0时, Kirchhoff类型椭圆方程与Brezis-Nirenberg问题的关系,获得了当b→0时, Kirchhoff类型椭圆方程的基态解ub收敛于Brezis-Nirenberg问题的基态解u0.当(q=)(1,2)时,使用一种截断技术截断能量泛函,再使用Krasnoselskii’s genus(Z2指标)理论,获得方程有无穷多负能量解.当N≥5时,对任意的q(=)(1,2*)和在a,b满足一些假设条件情况下,证明了方程存在正解.
　　第三章讨论带有纯幂次非线性项的Kirchhoff类型椭圆方程变号解的存在性.我们使用变分法与不变集的下降流以及Z2指标理论,获得了当p(=)(2,6)时,方程存在无穷多高能量变号解.我们的这个工作扩展了现有文献仅在p(=)(4,6)时存在变号解结论.
　　第四章讨论带有一般非线性项的 Kirchhoff类型椭圆方程变号解的存在性问题.通过对非线性项的一些较弱假设,运用一个截断技术,再使用变号的Nehari流形与集中紧性原理,最后证明方程存在一个最小能量变号解和一个不变号的基态解,且这个变号解的能量严格大于基态解能量.
　　第五章研究另外一种类型的带有非局项的椭圆方程,即带有Sobolev临界指数的Schr?dinger-Poisson方程组.首先由Lax-Milgram定理知Schr?dinger-Poisson方程组可以转化成为一个包含非局部项的单一方程,再使用变分法,获得能量泛函.当p＝1时,把能量泛函约束在Nehari流形上,得到(PS)序列的有界性,再使用集中紧性原理获得(PS)序列的局部紧性,最后再证明了 Nehari流形对能量泛函的约束是一个自然约束,因此,获得原方程组存在一个基态解.而当p(=)(0,1)时,运用一种截断技术截断能量泛函,再对获得的新能量泛函运用Z2指标理论,证明了方程存在无穷多负能量解.
　　第六章简单地把本论文加以总结,同时希望对本文中的一些结论能进一步优化以及弱化一些假设.

目录

封面

中文摘要

英文摘要

目录

1绪论

1.1 问题的研究背景及发展现状

1.2 本文内容介绍

1.3 本文的符号

2带有临界指数的Kirchhoff类型椭圆方程

2.1 问题介绍与主要结果

2.2 预备知识

2.3 q＝2的情形: 基态解与负能量解

2.4 q∈(2, 4)的情形: 基态解

2.5 q∈(1, 2)的情形: 多解

2.6 定理2.1.5的证明

3带有次临界指数的Kirchhoff类型椭圆方程：变号解

3.1 问题介绍与主要结果

3.2 预备知识

3.3 定理的证明

4带有一般非线性项的Kirchhoff类型椭圆方程：变号解

4.1 问题介绍与主要结果

4.2 预备知识

4.3 定理4.1.1的证明

5带有临界指数的Schr?dinger-Poisson方程组

5.1 问题介绍与主要结果

5.2 预备知识与一些引理

5.3 p＝1的情况: 基态解

5.4 p∈(0,1)的情况: 多解

6结论与展望

致谢

参考文献

附录

A 作者在攻读博士学位期间完成的论文

B 作者在攻读博士学位期间参加的科研项目