关于不定方程x-1=3py，x-27=py

摘要

关于不定方程x2-1=3py2，x3-27=py2(p为素数)，当p≡1(mod6)时方程的求解较为困难，很难找到一个统一的方法把这类不定方程的整数解全部给出.本文分别使用代数数论的方法以及初等方法中的递归数列，二次剩余，pell方程，同余法来研究了上面两个不定方程.
　　 作为代数数论中重要组成部分，二次域，理想数唯一分解定理对研究不定方程有重要作用，第三章我们用代数数论的方法给出方程只有平凡整数解的充分条件，当p≡1(mod24)，Q(√-3p)的类数为h，(3，h)=1时，x3-1=3py2只有平凡整数解(x，y)=(1，0).类似方法可得出当p≡19(mod24)，Q(√-p)的类数为h，(3，h)=1时，x3-1=py2只有平凡整数解(x，y)=(1，0).
　　 对不定方程x3-1=3py23p＜100[20]的情况已全部解决，当不定方程有非平凡整数解时，代数数论的方法受到局限，至今仍没有找到一个方法来给出方程的全部整数解，第四章我们考虑了p＜50即当p=37,43时的情况，得出x3-1=111y2仅有整数解(x，y)=(1，0)，(10，±3)；x3-1=129y2仅有整数解(x，y)=(1，0)，因为x3-1=3py2与x3-27=py2有密切联系，我们同时给出x3-27=py2，当p=37,43时全部整数解的情况.x3-27=37y2仅有整数解(x，y)=(3，0)，(30，±27)，(4，±1)，(844，±4031)；x3-27=43y2仅有整数解(x，y)=(3，0).

目录

文摘

英文文摘

声明

第1章 引言

1.1关于不定方程x3-1=3py2，x3-27=py2的研究现状

1.2本文的安排

第2章 预备知识

2.1代数数和代数整数

2.2二次域

2.3理想

2.4同余

2.5 Legendre符号与Jacobi符号

2.6 Pell方程

第3章 代数数论方法研究不定方程

3.1关于不定方程x3-1=3py2

3.2关于不定方程x3-1=py2

第4章 初等方法研究不定方程

4.1关于不定方程x3-1=3py2

4.1.1 x3-1=111y2

4.1.2 x3-1=129y2

4.2关于不定方程x3-27=py2

4.2.1 x3-27=37y2

4.2.2 x3-27=43y2

结语

参考文献

感谢