pn阶初等交换群的pn-1阶自同构的性质综述

摘要

在群论中，除循环群外，一类简单的群就是初等交换p-群，其结构是非常清楚的一类群.关于这类群的自同构的研究也早已经完成，它的自同构群也早已经知道.但是这类群有一个高阶自同构非常有趣，它的存在性可以通过有限域的理论得到证明，即对于一个pn阶的初等交换群，它的自同构就是n维的一般线性群GL(n，p)，该群一定存在一个pn-1阶自同构.虽然这类自同构的存在性已经得到证明，但是它们究竟是怎样的形式?究竟如何作用于群的元素?却没有一般的规律.本文归纳综述这方面的知识，并试图通过有限域的理论给出该全部pn-1阶自同构的矩阵形式，以及它对群的元素的作用方式.作为例子，我们给出34阶初等交换p-群的全部80阶自同构的矩阵形式，以及它们对群的元素的作用形成的非本原集.本文分成三节。
　　 第一节简要介绍自同构群的历史发展背景。
　　 第二节用交换群，向量空间和有限域的性质理论上综述一般线性群GL(n，p)中的pn-1阶元的存在性和其矩阵的求法，并且给出了这个元素作用于pn阶初等交换群中元素上产生的非本原集的理论方法。
　　 第三节通过第二节的一般理论基础，用一个例子具体求出所要的矩阵和非本原集。