时延复数神经网络的吸引集与不变集研究

摘要

人类的大脑是一个十分复杂的系统，它具有组织神经元进行信息处理的能力，并以比数字计算机更快地速度对信息进行并行以及非线性的处理。一直以来，建立具有人类智慧的机器或自主机制都是科学和工程应用各界研究人员的一个梦想。因而，在50多年前，人工神经网络，通常被称为神经网络，这一概念一经提出便引起了广泛关注。在谷歌的AlphaGo击败世界顶级围棋大师后，神经网络相关的研究再次引起了学者们的关注。神经网络是机器学习算法中最流行和最强大的一类，在现代科学的发展中起着重要的作用。由于神经网络所采用的主要计算方式是分布式计算与并行计算，因而其在深度学习、大数据分析、模式识别以及生物学等领域得到了大量的应用。已经有众多学者就神经网络的各个方面进行了详细的研究，作为神经网络理论的研究基础，关于神经网络的动力学特性分析也是众多学者研究的热点。另外，复数神经网络将复数引入到了状态变量、连接权矩阵以及激活函数，这大大地拓展了神经网络的研究范围。由于复数神经网络可以直接处理复数信号，所以它能够解决许多在实数域中无法处理的问题。再者，从已有的研究中我们可以知道，与实数神经网络相比，复数神经网络处理数据的速度更快，效率更高。这是因为它能够直接对复数信号进行加工处理，这一特点在信号处理领域显得尤其关键。因而，复数神经网络的动力学行为非常值得进一步的探索。
　　目前，关于神经网络的大多数研究工作都讨论了神经网络的动力学特性。它们一般都是通过构造合适的Lyapunov函数，然后，利用不等式技巧对神经网络的动力学特性进行分析。然而，构造与对应系统相匹配的Lyapunov函数非常困难。并且，线性矩阵不等式（LMI）的运算过程也相当繁琐。因此，本论文将不采用Lyapunov函数与线性矩阵不等式的方法，而是通过结合微分不等式与复数共轭性质来讨论复数神经网络的动力学行为。
　　通常情况下，微分系统的动力学行为分析及应用主要依赖于平衡点处的稳定性研究或平衡点存在的区域,即吸引集与不变集。因此，本论文重点研究了带时延的自治复数神经网络平衡点的指数稳定与带时延非自治复数神经网络的全局吸引集与正不变集。
　　结合上述讨论，本论文对以下两点进行了研究并取得了相应的成果：
　　（1）研究了一类时延自治复数神经网络系统，并且分析了该系统平衡点处的指数稳定性。在不将激活函数实数与虚数部分分离为两个独立的部分的条件下，运用复数共轭性质和已有的微分不等式，并结合M矩阵的特性，得到了时延复数神经网络平衡点处指数稳定的充分条件，最后使用了数值仿真对该充分条件的有效正确性进行了验证。
　　（2）针对时延非自治复数神经网络的全局吸引集与正不变集进行了深入地研究。在已有微分不等式上建立了一类微分积分不等式，并结合了复数共轭性质、Hadmard积、M矩阵得到了时延非自治复数神经网络全局吸引集与正不变集的数学表达式。接着，通过将研究范围缩小到实数域，得到了该系统在实数域中的全局吸引集。最后，通过数值仿真对结果的有效及正确性进行了验证。

目录

第一章 绪论

1.1 神经网络的出现

1.2 神经网络的应用

1.3 复数神经网络的发展及应用

1.4 复数神经网络的研究现状

1.5 本文的研究意义与结构安排

第二章 预备知识

2.1 引言

2.2 数学符号

2.3 研究模型

2.4 本文相关定义与引理

2.5 本章小结

第三章 带时延的复数神经网络的指数稳定

3.1 引言

3.2 主要结论

3.3 数值仿真

3.4 本章小结

第四章 分布式时延复数神经网络的全局吸引集与正不变集

4.1 引言

4.2 主要结论

4.3 数值仿真

4.4 本章小结

第五章 总结与展望

5.1 本论文研究内容

5.2 创新点

5.3 对未来研究工作的展望

参考文献

致谢

攻读硕士学位期间发表的学术论文

攻读硕士学位期间参加的科研项目