非均质多孔介质中水流问题的多尺度数值模拟

摘要

对大空间尺度和长时间跨度的地下水流动态进行预测在科学与工程的许多领域都是十分重要的。这些领域包括土壤科学、地下水文学、环境科学与工程等。然而，自然多孔介质的大多数地学特性在多重长度的尺度上呈现高度的空间变异性。例如：在非饱和带土壤中或在同一含水层系统内水力传导度的变化达几个数量级是十分典型的。当一个标准的数值方法(例如：有限元或有限差分方法)被用来求解跨越多个尺度的非均质多孔介质中的水流问题时，为获得有意义的解而通常需要对介质的小尺度信息进行必要的分辨，从而导致合成的离散系统的自由度可能相当的大。结果，需要巨大的计算机内存和冗长的计算时间，从而使得采用标准的数值方法来模拟非均质多孔介质中的水流变得十分困难。为了有效地模拟具有多尺度特性的饱和、非饱和非均质多孔介质中的大尺度水流，本论文提出了三种多尺度方法，并通过一些具有一定实际背景的数值算例，对所构造的多尺度算法的有效性和精确性进行了检验。这些问题的主要特点是介质的水力参数在空间呈现高度的变异性。这些方法的共同目标是要在一个粗尺度网格上精确而有效地获得具有高度非均质系数的水流方程的大尺度解。这些方法的共同思想是在每一个粗单元里求解简化的局部椭圆问题，构造携带了小尺度水力特性的多尺度有限元基函数，然后通过这些多尺度基函数和一个全局公式而把介质的小尺度特性带到大尺度上。这样，解的大尺度结构就可以有效地被抓住。 本文第一章简要地阐述了本学位论文的研究目的和意义，详细地回顾了有关多尺度非均质多孔介质中流动问题的尺度提升和多尺度方法方面的研究成果，重点综述了有关非均质介质中大尺度流动的多尺度模拟方面的研究文献，并在此基础上确定了本文的研究目标、主要研究内容和研究方法。 一种为求解具有多尺度特性的非均质多孔介质中饱和水流问题的多尺度数值方法，有限体积多尺度有限元方法(Finitevolumemultiscalefiniteelementmethod，FVMSFEM)在第二章被提出。方法基于有限体积离散和多尺度基函数之间的一种有效耦合。它无需分辨所有的小尺度信息就能在粗尺度网格上有效地抓住解的大尺度结构，而且是局部守恒的。FVMSFEM的基本思想是利用多尺度基函数来估计穿过控制体界面的宏观通量，而这些宏观通量携带介质的局部小尺度特性到大尺度上。针对非均质多孔介质中的非稳定饱和水流问题，我们描述了构造这一方法的策略并给出了一种相应的算法。FVMSFEM包括两个主要的部分：(1)在粗尺度网格上关于宏观尺度变量的一个总的宏观格式；(2)从微观模型中估计缺失的宏观数据。通过对宏观格式中系数的估计而把介质特性的小尺度信息揉进了大尺度。这些系数仅仅被计算一次，而且将被用到后续的计算中。这样，在计算内存和计算时间方面，该方法都提供了巨大的节省。为了表明所提出的方法的有效性与精确性，对水力传导度在空间的变化服从对数正态分布的稳定和非稳定的饱和水流问题进行了数值试验。结果表明：对于具有不同相关结构和空间变异性的水力传导度场，FVMSFEM解与在细尺度网格上通过标准的数值方法获得的细尺度解之间具有很好的一致性。此外，对于非稳定水流问题的数值算例，用一台IBMPC机，可以在43个CPU秒钟内，获得在时刻t=6000分钟的FVMSFEM解(取时间步长△t=5min)。对于1200个时间步，粗网格模型(20×20)所需的CPU时间仅仅是细网格模型(360×360)的0.5％。在实际计算中，粗网格模型也许要使用更多的时间步数，这将进一步减少计算花费。 为了求解非均质系数被定义在细尺度上的井驱动的饱和水流问题，第三章提出了一种修改的多尺度有限元方法(Modifiedmultiscalefiniteelementmethod，modifiedMSFEM)。方法的基本思想是使用服从于一般边界条件的局部井驱动的水流问题的细尺度解来确定井附近区域的多尺度基函数的边界条件。井附近区域的基函数通过使用这些边界条件而构造。结果，这样构造的基函数不仅适应于水力参数的局部特征而且也适应于井附近压力场的局部变化。基于标准的MSFEM的框架，我们详细地描述了修改的MSFEM的原理和数值步骤。在标准的MSFEM和修改的MSFEM之间的唯一区别在于确定井附近区域的多尺度基函数的边界条件。为了表明所提出方法的有效性与精确性，针对水力传导度在空间上服从对数正态分布的水流问题进行了数值试验，在所设计的数值算例中我们既考虑了井驱动的稳定流问题，也考虑了井驱动的非稳定流问题。数值结果表明：对于井驱动的地下水流，相对于参考的细尺度结果，修改的多尺度有限元方法比标准的多尺度有限元方法提供了更精确的粗尺度模拟。 获得大尺度非均质多孔介质中非饱和水流的数值解是困难的，这不仅是因为用以刻画自然多孔介质的相关物理特性的参数在空间上呈现高度的变异性而且还因为在处理非线性问题时所出现的数学困难。为了有效地模拟跨越多个尺度的非均质多孔介质中的非饱和水流，在第四章我们提出了一种多尺度有限元线性化格式(Multiscalefiniteelementlinearizationscheme，MSFELS)。该方法的中心目标是要在一个粗尺度网格上精确而有效地获得具有非均质系数的Richards方程的大尺度解。基本的思想是利用Slodicka线性松弛近似格式来处理方程中的非线性性和使用多尺度基函数来捕捉方程系数中的空间变异性。MSFELS包括两个主要的部分：(1)构造一个能够导致包含了小尺度信息的近似解的多尺度映射；(2)在一个粗尺度网格上形成求解Richards方程的多尺度数值公式。基于Slodicka线性近似格式的框架，我们描述了构造这一方法的原理而且给出了一种相应的算法。为了表明所提出的方法的有效性与精确性，分别针对饱和水力传导度是周期分布和随机生成的呈对数正态分布的非饱和水流问题进行了数值试验。数值结果表明：基于Slodicka线性松弛近似格式和多尺度有限元基函数之间的一种耦合的MSFELS，既利用了Slodicka线性化格式求解非线性抛物问题的有效性和稳健性又利用了多尺度基函数捕捉方程系数空间变异性的能力。在本构关系分别使用Gardner模型和vanGenuchten-Mualem模型的数值算例中，观察到：MSFELS在粗尺度网格上能够有效地抓住细尺度解的大尺度行为。而且，在每一时间步，粗网格模型(32×32)所需的CPU时间大约仅仅是细网格模型(256×256)的20％。 论文的最后一章，总结了前几章的主要结论并指出了今后的研究重点。

目录

文摘

英文文摘

论文说明：插图目录、附表目录及主要常用符号列表

独创性声明及关于论文使用授权的说明

第一章绪论

第二章求解非均质多孔介质中饱和水流问题的有限体积多尺度有限元方法

第三章求解非均质多孔介质中井驱动的水流问题的一种修改的多尺度有限元方法

第四章求解非均质多孔介质中非饱和水流问题的一种多尺度有限元线性化格式

第五章结论和展望

参考文献

致谢

作者简介