偏微分议程的并行计算与应用研究

摘要

科学与工程计算涉及国民经济建设、洪涝灾害防治，环境保护等重大领域，其水平也是衡量一个国家综合国力的重要指标，而这些问题最终都归结为偏微分方程的求解。虽然偏微分方程数值计算理论和计算方法已经有较多的研究，但由于这些问题的数据量非常庞大，使得求解过程十分复杂，求解的时间在整个问题的总计算时间中占有非常大的比重。如何缩短偏微分方程的计算时间、提高计算效率是当今最具挑战性的论题之一。
　　 为实现偏微分方程的高效计算，本文研究了偏微分方程的并行算法。所做主要的工作是：
　　 首先，对泊松方程做串行计算。通过采用有限差分方法把微分方程离散化，采用Fourier方法分析差分格式的稳定性及差分格式迭代计算法的收敛性，在此基础上选择三个经典迭代方法做串行仿真，目的在于使串行算法结果能够与并行求解结果进行对比。
　　 其次，给出二维泊松方程的两个改进并行算法。在该串行算法基础上，采用数据分割的方法做并行计算。通过算法性能分析，找出了原有基于雅可比迭代的并行算法之不足。在该并行算法的基础上加以改进：一从迭代法本身收敛速度上考虑，二从通信的开销上考虑，从各个进程之间的边界数据发送及接收入手，减少通信耗费。得到了新的并行迭代算法。
　　 再次，把改进的算法应用在热传导方程的求解中。在基于MPI并行编程环境模式下的模拟集群平台上做了数值实验。实验结果显示，新的并行算法效果更加理想。能有效缩短计算时间，提高计算效率。并讨论了其他可能的应用领域。
　　 最后，给出二维抛物方程的一个并行算法。采用分裂算法把二维的方程分裂为两个局部一维方程，简化方程模型，然后用构造的一个新的有限差分格式对这两个方程分别进行离散化，把古典差分格式和新的格式对比。发现新的格式不仅是稳定的，而且精度比古典格式高，达到了三阶精度。